极限怎么求：8种求法按题型对照与例题

极限怎么求，关键在第一步：先把趋向值代进去，看它是确定的数还是未定式，再按未定式的类型挑方法。常用的求法有 8 种：代入、约分（含有理化）、等价无穷小、洛必达、泰勒展开、重要极限、夹逼、单调有界，前 6 种主要对付函数极限，后 2 种多用在数列上。下面先给一张按题型对照的速查表，再给每种方法配一道能逐步验算的例题，最后给出一页结果速查。

先判题型再选方法

所有方法都建立在同一个判断上：代入之后是什么形态。能代出有限值，题目就结束了；代出 0/0、∞/∞、1^∞、0·∞、∞−∞ 这几种未定式，才需要下面的工具。后两种一般先通分或取倒数，化成前两种再处理。

表里的「优先」只是经验上步骤较少的那一种。实际做题时几种方法常串起来用，例如先等价替换化简，再用一次洛必达。

8 种求法各一道例题

① 代入法：连续函数在定义域内的点，极限等于函数值。x→2 时 (x²+1)/(x+3) 代入得 5/5= 1。

② 约分法：0/0 型且分子分母有公因子时，先约去使分母为零的那个因子：

\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x-3)=-1

③ 等价无穷小：乘除结构里，x→0 时把 sin 3x 换成 3x，ln(1+2x) 换成 2x，于是 (sin 3x)/ln(1+2x) 的极限是 3x/(2x)= 3/2。

④ 洛必达法则：∞/∞ 型，x→+∞ 时 (ln x)/x 分子分母分别求导，得 (1/x)/1→ 0。

⑤ 泰勒展开：求 x→0 时 (sin x − x cos x)/x³。分子是两项之差时，展开到分母的阶数。sin x=x−x³/6+o(x³)，x cos x=x−x³/2+o(x³)，相减得 x³/3+o(x³)，所以极限是 ⅓。

这一题的两行展开最适合先录进公式编辑页：点「LaTeX」写成 aligned 两行，切「可视化」模式看分数和余项的上下标，比在草稿纸上抄系数更容易对照。

⑥ 重要极限（1^∞ 型）：x→0 时 (cos x)^(1/x²) 的底数趋于 1、指数趋于无穷。令 u=cos x−1，按重要极限 (1+u)^(1/u)→e 改写：

(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=\left[(1+(\cos x-1))^{\frac{1}{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{x^{2}}}

方括号里趋于 e，外层指数 (cos x−1)/x²→−½。也可以取对数：指数部分是 (ln cos x)/x²，而 ln cos x=ln(1+(cos x−1))~cos x−1~−x²/2，于是指数趋于 −½，原极限是 e^(−½)。下图是这两行在编辑器里对齐排好的样子，第二步用了 ln(1+u)~u。

⑦ 夹逼准则：求和式 Sₙ = Σ n/(n²+k)（k 从 1 到 n）。每一项都介于 n/(n²+n) 与 n/(n²+1) 之间，共 n 项，所以 n²/(n²+n)≤Sₙ≤n²/(n²+1)，两端都趋于 1，故 Sₙ→ 1。

⑧ 单调有界准则：a₁=√2，aₙ₊₁=√(2+aₙ)。用归纳法可证 aₙ<2 且数列递增，所以极限 A 存在；对递推式两边取极限得 A=√(2+A)，即 A²−A−2=0，舍去负根得 A= 2。

容易出错的三个地方

第一，加减项里乱用等价替换。 例⑤若把 sin x 与 x cos x 都换成 x，分子变成 0，得出极限为 0 的错误结论。等价替换只对整个分子或分母的乘除因子成立，几项相减时要改用泰勒展开。

第二，1^∞ 型直接把底数代成 1。 例⑥若先写 cos 0=1 再说「1 的任何次方都是 1」，结论就错了：底数只是趋于 1，指数同时在变大，两者要放在一起看，所以要先取对数或凑成重要极限。

第三，单调有界只证了一半。 例⑧如果跳过「有界」或「单调」任一步，直接对递推式取极限，就默认了极限存在，这一步在证明题里会被扣分。

八道题排成一页，再交成 Word

一道极限题往往要换两三次方法，推导写成一长串很难回看。更稳妥的写法是一步一行、等号对齐，每一行旁边注明用的是哪种方法；复习时再把八道题的结论排在一页上对照。

具体可以这样做：打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例⑥的推导贴进去，切回「可视化」模式检查极限号下标与指数的位置。

\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}
&= \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\cos x}{x^{2}}\right) \\
&= \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^{2}}\right) = e^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}

其余七道照同一格式各写一条，再切到「文档编辑」，用「插入公式」按①到⑧的顺序放进去，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」或「Markdown (.md)」，得到一份能继续修改的复习稿。导出需要登录并开通本站会员。每一步是否成立，仍按上面的方法手算复核。

延伸阅读

• 洛必达法则：三个使用条件与五种常见误用
• 等价无穷小替换：常用等价表，加减能否替换
• 泰勒公式求极限：展开到几阶的判断方法
• 极限符号：极限号上下标各表示什么