等价无穷小替换：常用等价表与加减时能否用
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等价无穷小替换的规则一句话能说完：求极限时，整个分子或分母里作为乘除因子的无穷小，可以换成与它等价的简单式子，极限不变；几项相加减时要先判断比值，不能随手替换。原因在于乘除时误差按比例趋于 1，而加减时主部可能互相抵消，剩下的恰恰是被丢掉的高阶项。下面给出常用等价表、判断加减能否替换的比值标准、3 道逐步例题和 1 道替错的反例。
常用等价无穷小对照表
以下都在 x→0 时成立。表里的 x 可以换成任何趋于 0 的式子，例如 sin 3x~3x，ln(1+x²)~x²。
| x→0 时的无穷小 | 等价于 | 记忆提示 |
|---|---|---|
| sin x、tan x、arcsin x、arctan x | x | 四个一组，都是 x |
| ln(1+x)、eˣ−1 | x | 对数与指数互为反函数 |
| 1−cos x | x²/2 | 二阶无穷小 |
| (1+x)ᵃ−1 | ax | √(1+x)−1~x/2 |
| aˣ−1 | x ln a | a=e 时退回 eˣ−1 |
| tan x−sin x | x³/2 | 三阶，常作陷阱题 |
| x−sin x | x³/6 | 三阶，来自泰勒展开 |
| x−ln(1+x) | x²/2 | 二阶，来自泰勒展开 |
记住前五行就能应付大部分题目，后三行是加减结构里常见的「差」，背下来可以省去一次展开。
为什么乘除可替、加减慎替
设 α~α′，意思是 α/α′→1。对乘积有 αβ=(α/α′)·α′β，第一个因子趋于 1，所以 αβ 与 α′β 的极限相同。这就是乘除可替的全部理由。同样的推理对分母里的因子也成立，所以分子分母可以各自替换、互不影响。
加减拆不出这样的因子。若 α−β 中两者主部相同，一减就抵消，差的大小由更高阶的项决定，而替换时恰好把这些项扔掉了。判断标准是：lim α/β≠1 时，α−β~α′−β′ 仍成立；等于 1 时就会出错。相加的情形把 1 换成 −1。
判断时顺手把「比值是多少」写在推导旁边，是记录这类题最省事的习惯；在公式编辑页里把依据和推导排在同一个 aligned 环境里，回看时一眼能查。
3 道例题与 1 道反例
例 1：分母是乘积，分子整体是一个无穷小，都可以替换。1−cos x~x²/2，sin x~x，分子分母替换后约去 x²，极限是 ½（推导见下图）：
例 2：e^(x²)−1~x²，ln(1+x)~x，于是 (e^(x²)−1)/(x ln(1+x)) 的极限等于 x²/(x·x)= 1。
例 3：√(1+x)−1~x/2，sin 2x~2x，于是 (√(1+x)−1)/(sin 2x) 的极限等于 (x/2)/(2x)= 1/4。
反例（替错）：求 x→0 时 (tan x−sin x)/x³。若把 tan x、sin x 都换成 x，分子变成 0，得出极限为 0，这是错的：(tan x)/(sin x)→1，正好落在「等于 1」的禁区。正确做法是先把差写成乘积，再对两个因子分别替换：tan x−sin x = tan x(1−cos x) ~ x·x²/2 = x³/2，所以原极限是 1/2。
作为对照，sin 2x+tan x 可以放心替换：(sin 2x)/(tan x)→2，不等于 −1，所以 (sin 2x+tan x)/x 的极限是 (2x+x)/x= 3。
替换依据要写在推导里
替换错误往往藏在「一步到位」的写法里。更稳妥的记录格式是：先写原式，再单独一行写明「由 1−cos x~x²/2」这样的依据，最后写替换后的式子。回看时能逐条检查每次替换是否落在乘除因子上，加减结构有没有先算比值。
下图把四个加减例子按比值分成两组：比值不等于 1（相减）或不等于 −1（相加）的可以直接替，否则先化成乘积或展开。
想把反例这两行记成电子笔记，可以打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」贴进下面的源码，再切「可视化」模式核对分数层级；等价号用 \sim，乘积之间的小空格用 \,。
\begin{aligned}
\tan x-\sin x &= \tan x\,(1-\cos x) \\
&\sim x\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2}
\end{aligned}
等价表和几道例题都录好后，切到「文档编辑」逐条「插入公式」，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」就是一份能在 Word 里继续修改的笔记；这一步要登录并开通本站会员。替换是否合法，仍按上面的比值标准自己判断。
延伸阅读
常见问题
- 加减里什么时候也能替换？
- 两个无穷小相减时，只要它们之比的极限不等于一，就可以各自换成等价量再相减；相加时，只要比值的极限不等于负一也可以。比值恰好是一的相减最危险，例如正切减正弦，两者主部相同会互相抵消，这时必须用泰勒展开保留下一项，或者先把差化成乘积再替换。