泰勒公式求极限：展开到几阶的判断方法与例题

用泰勒公式求极限，做法是把式子里的函数在 x=0 附近展开成多项式加余项，再比较分子分母的主部。展开到几阶按两条规则定：分式「上下同阶」，分母是 xᵏ，分子就展开到 xᵏ；分子几项相加减时，「展开到首个不抵消的项」为止。下面给出常用麦克劳林展开表、定阶规则、3 道例题、一个阶数不够的错误对照，以及它和洛必达法则的取舍。

常用麦克劳林展开表

下表都在 x→0 时成立，o(xⁿ) 表示比 xⁿ 更高阶的无穷小。做题时按需要截取前几项，其余收进余项。

表里的函数可以复合使用：把 x 换成 −x²/2，eˣ 的展开就变成 e^(−x²/2) 的展开，系数照算即可。

定阶规则：上下同阶，加减到首个非零项

规则一：看分母定目标阶数。 分母若是 x⁴ 或等价于 x⁴ 的式子，分子只需精确到 x⁴，更高次的项都进余项。多展开只是多写几项，少展开则会出错。

规则二：分子相减时逐项比。 把几个函数展开到同一阶，同次项合并；合并后某一次的系数为零，就继续看下一次，直到出现第一个非零系数。它的次数等于分母的次数，极限才是有限的非零常数。

下面例 2 的三行展开就是这两条规则的完整演示，录进编辑器后写成三行，四次项系数一眼就能对上。

3 道例题逐步写

例 1（分母 x³）：求 x→0 时 (eˣ−1−x−x²/2)/x³。分母是三阶，eˣ 展开到 x³，分子等于 x³/6+o(x³)，极限是 1/6。

例 2（分母 x⁴，两个函数相减）：求 x→0 时 (cos x − e^(−x²/2))/x⁴。cos x 与 e^(−x²/2) 的二次项都是 −x²/2，会抵消，必须展开到四次。两个展开式就是上面编辑器截图的前两行：cos x 的四次项系数是 1/24，e^(−x²/2) 的四次项系数是 1/8。

两式相减，四次项系数是 1/24−1/8=−1/12，所以极限为 −1/12。

例 3（先通分再展开）：求 x→0 时 1/x−1/ln(1+x)。通分得 (ln(1+x)−x)/(x ln(1+x))，分母 x ln(1+x)~x² 是二阶；分子把 ln(1+x) 展开到 x²，得 −x²/2+o(x²)，所以极限是 −½。

阶数不够的错误对照与方法取舍

仍以例 2 为例，若两个函数都只展开到二次，写成 1−x²/2+o(x²)，分子就只剩 o(x²)。它除以 x⁴ 的结果无法确定，可能是任何值，常见的错误是把它当成 0 写下结论。下图把这种写法和展开到四次后的正确写法放在一起对照。

另一个常见问题是只展开一个函数，另一个保持原样，两边精度不对等。两边要展开到同一阶，余项才能统一合并。

泰勒展开与洛必达怎么取舍。 两种方法常可互相验算，但步骤量差别很大。拿例 2 来说，用洛必达要连续求四次导，每次分子都变长；展开法只写两行。

分母阶数很低、导数又好求时，洛必达法则 可能更快。

把课堂上的展开过程照原样录下来

课堂上老师讲例 1 时，黑板上通常是这样三行：先写展开式，再写相减结果，最后写极限（见下图）。出错多在 1/2、1/6 这类阶乘系数，照这个三段格式记下来最容易回查。

在本站把它录成电子笔记：打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，粘进下面这段，再点「可视化」核对分数与余项的上下标。

\begin{aligned}
e^{x} &= 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}) \\
e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2} &= \frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}) \\
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}} &= \frac{1}{6}
\end{aligned}

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