洛必达法则：3个使用条件和5个常见误用
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洛必达法则说的是：当 f(x)/g(x) 是 0/0 或 ∞/∞ 型未定式，且导数之比 f′(x)/g′(x) 的极限存在时，原极限就等于这个导数之比的极限。它有 3 个使用条件：未定式类型对、分子分母在去心邻域内可导且 g′(x)≠0、导数之比的极限存在或为无穷。下面按条件、例题、误用三块来讲，5 个误用都配了能手算核对的反例。
3 个使用条件
写成公式就是下面这一行，a 可以是有限数，也可以是 ±∞：
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
等号成立有前提，三条缺一条都可能得出错误答案。它的依据是柯西中值定理，所以条件本质上是把定理的假设照搬过来：
| 条件 | 具体要求 | 不满足时的后果 |
|---|---|---|
| 1 类型 | 代入后是 0/0 或 ∞/∞ | 对普通分式求导，答案直接错 |
| 2 可导 | f、g 在 a 的去心邻域内可导，g′(x)≠0 | 导数之比本身无意义 |
| 3 极限存在 | f′/g′ 的极限存在（或为 ∞） | 只说明此法失效，原极限另求 |
0·∞ 型把其中一个因子移到分母，∞−∞ 型先通分，都化成 0/0 或 ∞/∞ 再用。1^∞、0⁰、∞⁰ 三种幂指型先取对数，转成 0·∞ 再处理。例如 x→0⁺ 时 xˣ 取对数得 x ln x，正是下面例 3 的形式，它的极限是 0，所以 xˣ→e⁰=1。幂指型题目多数都是这样先取对数、再落到前两种类型上。
3 道例题逐步写
例 1（0/0 型，连用两次）：x→0 时 (eˣ−1−x)/x² 代入得 0/0。第一次求导得 (eˣ−1)/(2x)，仍是 0/0；再求一次得 eˣ/2 → ½。下图把这两行排成一列，每行右边标出这一步处理的类型。
第二步也可以改用等价无穷小 eˣ−1~x，结果同样是 ½，两种方法互相印证。
像这样「一行一次求导、右边标类型」的写法，可以直接在公式编辑页用 aligned 环境排出来，连用几次都不会乱。
例 2（∞/∞ 型）：x→+∞ 时求 x²/eˣ。连续两次对分子分母分别求导，得 2x/eˣ，再得 2/eˣ→ 0。这说明指数函数增长得比任何幂函数都快。
例 3（0·∞ 型）：x→0⁺ 时求 x ln x。先改写成 (ln x)/(1/x)，变成 (−∞)/(+∞) 型，再求导，化简到 −x，极限是 0（下图是完整的一行推导）：
5 个常见误用对照
误用 1：代入得确定值也去求导。 x→1 时 (x²+1)/(x+1) 代入就是 2/2=1，若硬求导得 2x/1→2，答案错。用之前先代入确认类型。
误用 2：导数之比极限不存在，就断言原极限不存在。 x→∞ 时 (x+sin x)/x 求导得 1+cos x，它来回振荡、没有极限，可原式等于 1+(sin x)/x→ 1。条件 3 不满足只说明这条路走不通。
误用 3：对整个分式用商的求导法则。 正确做法是分子、分母各自求导，得 f′/g′；写成 (f/g)′ 是另一回事，结果完全不同。
误用 4：越求越绕回原式。 x→+∞ 时 √(1+x²)/x 求导后变成 x/√(1+x²)，再求导又回到原式，陷入循环。改为分子分母同除以 x，得 √(1/x²+1)→ 1。
误用 5：拿它推导它依赖的结论。 用该法则求 (sin x)/x 在 x→0 的极限，要用到 (sin x)′=cos x，而这个导数公式恰恰是由这个极限推出来的，属于循环论证。证明题里要改用夹逼准则。
把黑板上的推导录成可编辑的笔记
课堂上讲例 2 时，老师在黑板上通常一行求一次导，两行写完（见下图）。照这个格式记，回看时能直接看出每一步对谁求了导。
在本站录下来只要三步：打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把下面这段贴进去；点「可视化」确认 x→+∞ 的下标位置；然后从「导出」选「Word（含公式）」，拿到一条能在 Word 里双击修改的公式。
\begin{aligned}
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}
&= \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^{x}} \\
&= \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}} = 0
\end{aligned}
导出要登录并开通本站会员。整理成多题讲义时，切到「文档编辑」用「插入公式」逐条排入，再选「Word 文档 (.docx)」。每一步的数值仍靠代入与等价替换手算核对。
延伸阅读
常见问题
- 用了洛必达还是0/0怎么办？
- 先确认新的分式仍满足三个条件，满足就可以再用一次，例如分子是指数函数减去多项式时往往要连用两到三次。如果求导后式子越来越长，说明方向不对，应先约去公因子，或用等价无穷小、泰勒展开把分子化简后再求导，往往一步就能得到结果。