斜渐近线怎么求：k与b两个极限的算法与例题

斜渐近线怎么求，记住两个极限：先算 k=lim f(x)/x，k 存在且不为 0 时再算 b=lim [f(x)−kx]，两个都是有限数，y=kx+b 就是斜渐近线。x→+∞ 与 x→−∞ 要分开算，两侧结果可能不同。同一道题一般连水平、铅直渐近线一起问，下面三道例题每道都把三种渐近线查一遍。

k 与 b 的算法

顺序上先算水平：某一侧 f(x) 趋于常数，这一侧就不必再找斜渐近线。k 算出来是 0，也说明这一侧没有斜渐近线，只可能有水平的。铅直渐近线与这两种互不排斥，一道题里三种可以同时出现，所以每道题都要三种各查一遍。

有理分式还有一个核对捷径：分子比分母恰好高一次时，做一次多项式除法，商就是斜渐近线；分子比分母高两次及以上，k 的极限是无穷，没有斜渐近线。含根式、指数的函数没有这条捷径，只能老老实实算两个极限，下面例 2、例 3 就是这种情况。

两个极限的写法如下，x→∞ 在答卷上要分别写成 x→+∞ 与 x→−∞ 各算一次：

例 1：有理分式 (2x²+3x−1)/(x+2)

铅直。 x=−2 时分子等于 8−6−1=1，不为零，分母为零，f(x)→∞，所以 x=−2 是铅直渐近线。

水平。 分子比分母高一次，x→±∞ 时 f(x)→∞，没有水平渐近线。

斜。 k=lim (2x²+3x−1)/(x²+2x)=2。再算 b：

b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2+3x-1}{x+2}-2x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{-x-1}{x+2}=-1

两侧结果相同，斜渐近线是 y=2x−1。除法核对：2x²+3x−1=(x+2)(2x−1)+1，所以 f(x)=2x−1+1/(x+2)，余项趋于 0。取 x=10⁷ 代数值，f(x)−2x 约等于 −0.9999999，与 b=−1 吻合。

例 2：根式 √(x²+2x)，两侧各一条

定义域是 x≤−2 或 x≥0。函数在定义域内连续、端点处取有限值，没有铅直渐近线；x→±∞ 时趋于无穷，也没有水平渐近线。

x→+∞： √(x²+2x)=x·√(1+2/x)，k=1。b=lim [√(x²+2x)−x]，分子有理化得 2x/(√(x²+2x)+x)→1，斜渐近线 y=x+1。

x→−∞： 这时 x<0，√(x²)=−x，所以 √(x²+2x)=−x·√(1+2/x)，k=−1。b=lim [√(x²+2x)+x]=lim 2x/(√(x²+2x)−x)，分母约等于 −2x，b=−1，斜渐近线 y=−x−1。

把 √(x²) 直接写成 x 的人，会在负无穷这一侧得到 k=1，这是本题的陷阱。

例 3：x·e^(1/x)，只有一侧的铅直渐近线

铅直。 只有 x=0 可疑。令 t=1/x：x→0⁺ 时 t→+∞，x·e^(1/x)=eᵗ/t→+∞；x→0⁻ 时 t→−∞，函数值趋于 0。只要一侧趋于无穷就够，x=0 是铅直渐近线。

水平。 x→±∞ 时函数趋于无穷，没有。

斜。 k=lim e^(1/x)=1；b=lim x(e^(1/x)−1)，令 t=1/x 化成 (eᵗ−1)/t→1。两侧都是 y=x+1。

常见错误

1. 只算正无穷。 例 2 两侧斜率相反，只写 y=x+1 就丢了一条。
2. k 存在就下结论。 f(x)=x+ln x 在 x→+∞ 时 k=1，但 b=lim ln x=+∞，没有斜渐近线。
3. 可去间断点当铅直渐近线。 (x²−1)/(x−1) 在 x=1 处极限是 2，不趋于无穷，x=1 不是渐近线。
4. 负无穷时根号外提 x 不变号。 见例 2。

录推导时，k 与 b 两个极限适合上下排成两行。在本站编辑器点「LaTeX」，用 aligned 把例 3 的两行写好，切回「可视化」模式看 e 的指数是否排成了上标 1/x；这一条要交的话用「导出」→「Word（含公式）」，导出要登录并开通本站会员。

交卷前只需再核一处：例 2 负无穷那一侧，√(x²) 有没有写成 −x。这一步写错，k 的符号就反了，那一侧的渐近线整条跟着错。

延伸阅读

• 极限符号：lim 下方的 x→∞、x→0⁺ 怎么排
• 正负号：两侧渐近线合写成 y=±(x+1) 时的写法