正交变换化二次型：六步写出正交矩阵Q

正交变换化二次型分六步：写出二次型的对称矩阵 A，求特征值，求每个特征值的特征向量，把重特征值的特征向量正交化，全部单位化，最后按列排成正交矩阵 Q，令 x=Qy，就得到标准形。标准形的系数正好是 A 的特征值，排列顺序与 Q 的列顺序一一对应。六步里真正需要动脑的只有第四步：同一个重特征值下的特征向量要两两正交，不同特征值之间则自动正交。

六步流程与每步的检查

1. 写矩阵：平方项系数放主对角线，交叉项 xᵢxⱼ 的系数对半分给 aᵢⱼ 与 aⱼᵢ。
2. 求特征值：解 |λE−A|=0，用「特征值之和等于迹、之积等于 |A|」核对。
3. 求特征向量：对每个 λ 解 (λE−A)x=0，k 重特征值要取够 k 个线性无关的解。
4. 正交化：只在同一个重特征值的特征向量之间做。
5. 单位化：每个向量除以自己的长度。
6. 写 Q 与标准形：单位向量按列排成 Q，标准形系数按同一顺序写特征值。

第 1 步最容易出的错是交叉项没有对半分：8x₁x₂ 在矩阵里是 a₁₂=a₂₁= 4，不是 8。第 6 步写完，可以用 QᵀQ=E 验证正交，用 QᵀAQ 是否等于对角阵验证整个结果。第 2 步的核对同样值得坚持：迹与行列式两个数都对上，特征多项式基本不会展开错。

下图把六步排成一条流程，第 4 步只在出现重特征值时才真正需要动手。

例 1：三元二次型，含二重特征值

例 1：f=3x₁²+3x₂²+8x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃，求正交变换 x=Qy 把它化为标准形。

第 1 步：A 的三行是 (3, 4, 2)、(4, 3, 2)、(2, 2, 0)，x₃² 的系数是 0，所以 a₃₃=0。

第 2 步：λE−A 的第一行减第二行得到 (λ+1, −(λ+1), 0)，提出公因子 λ+1；再把第一列加到第二列，按第一行展开，剩下 λ²−7λ−8=(λ−8)(λ+1)。特征值 λ₁= 8，λ₂=λ₃= −1。核对：迹 3+3+0=6=8−1−1；|A|=8=8×(−1)×(−1)。

第 3 步：λ=8 时，8E−A 的三行是 (5, −4, −2)、(−4, 5, −2)、(−2, −2, 8)，秩为 2，解得 ξ₁=(2, 2, 1)ᵀ。λ=−1 时，−E−A 的三行都与 (2, 2, 1) 成比例，只剩一个方程 2x₁+2x₂+x₃=0，取 ξ₂=(−1, 1, 0)ᵀ、ξ₃=(−1, 0, 2)ᵀ。

第 4 步：ξ₂ 与 ξ₃ 的内积是 1，不正交。保留 β₂=ξ₂，令 β₃=ξ₃−(1/2)ξ₂=(−1/2, −1/2, 2)ᵀ，乘 2 后取 (−1, −1, 4)ᵀ。ξ₁ 不用动：它和 β₂、β₃ 的内积分别是 0 和 −2−2+4=0。

第 5 步：三个长度依次是 3、√2、√18=3√2。

第 6 步：Q 的三列依次是 (2, 2, 1)ᵀ/3、(−1, 1, 0)ᵀ/√2、(−1, −1, 4)ᵀ/(3√2)，在 x=Qy 下 f=8y₁²−y₂²−y₃²。

例 2：二元二次型，特征值互不相同

例 2：f=5x₁²+4x₁x₂+2x₂²。A 的两行是 (5, 2)、(2, 2)，|λE−A|=(λ−5)(λ−2)−4=λ²−7λ+6=(λ−1)(λ−6)。λ=6 时 x₁=2x₂，取 (2, 1)ᵀ；λ=1 时 2x₁+x₂=0，取 (−1, 2)ᵀ。两个特征值不同，两向量内积 −2+2=0，第 4 步直接跳过；单位化都除以 √5，Q 的两列是 (2, 1)ᵀ/√5 与 (−1, 2)ᵀ/√5，标准形 f=6y₁²+y₂²。

这里 |Q|= 1，相当于把坐标轴旋转了一个角度；如果第二列取 (1, −2)ᵀ/√5，|Q| 变成 −1，仍是正交变换，标准形不变。

常见错误对照

排版这类题时，Q 建议按列写成「公因子乘整数列向量」的形式，比把九个元素逐个写成分数（其中五个带根号）挤进一个矩阵清楚得多，分数叠在一起时上下两行还容易挤在一块。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，矩阵用 pmatrix，根号写 \sqrt{2}，公因子写 \frac{1}{3\sqrt{2}}；下面这段是例 1 的最终答案，复制后切到「可视化」模式核对：

x=Qy,\quad
Q=\left(\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix},\ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\ \frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\4\end{pmatrix}\right),\quad
f=8y_1^2-y_2^2-y_3^2

Q 写好后花半分钟做两道乘法：QᵀQ 应是单位阵，QᵀAQ 应是 diag(8, −1, −1)。例 2 只有两阶，适合先拿来练这套验算，熟了再回到三阶的例 1。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法
• 帮助中心：LaTeX 模式、文档编辑与导出的操作说明
• 正定矩阵判定：顺序主子式与特征值两种方法