偶倍奇零：对称区间定积分的使用条件与例题

偶倍奇零说的是：积分区间关于原点对称，形如 [−a, a]，且被积函数在这个区间上连续时，奇函数的积分等于 0，偶函数的积分等于右半区间积分的 2 倍。两个条件缺一不可，区间不对称、或者积分其实是发散的反常积分，这句口诀都不能用。被积函数既不奇也不偶时，先拆成奇、偶两部分，再各用一半口诀。

两个前提与判定方法

判奇偶有几条现成的乘法规律：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。x sin x 是奇乘奇，所以是偶函数；x cos x 是奇乘偶，是奇函数。|x|、x²、cos x 是常见的偶函数，x³、sin x、arctan x 是常见的奇函数。

例 1：ln((1−x)/(1+x)) 在 [−1/2, 1/2] 上

原函数要用分部积分才找得到，但先判奇偶：

f(−x)=ln((1+x)/(1−x))=−ln((1−x)/(1+x))=−f(x)

它是奇函数，区间对称，函数在 [−1/2, 1/2] 上连续，所以积分 等于 0，对应下面公式的第一种情形：

按辛普森法数值积分，结果约为 −7×10⁻¹⁷，就是舍入误差。

例 2：x sin x 在 [−π/4, π/4] 上

x sin x 是偶函数，积分等于右半区间的 2 倍，右半区间再用分部积分：取 u=x，dv=sin x dx，原函数是 −x cos x+sin x。

2×[−x cos x+sin x] 从 0 代到 π/4，得 2×(−(π/4)(√2/2)+√2/2)=√2(1−π/4)，约 0.3035。偶倍的好处是下限变成 0，分部积分的边界项在 0 处全为零，少代一半的值。

区间对称但中心不在原点时，先平移再用口诀。例如 ∫₀² (x−1)³ dx，令 t=x−1，区间变成 [−1, 1]，被积函数 t³ 是奇函数，积分为 0。直接展开四项再逐项积分，结果也是 0，但要多写好几行。

例 3：拆成奇偶两部分

题目：求 ∫₋₁¹ (2x²+x cos x)/(1+√(1−x²)) dx。

分母 1+√(1−x²) 是偶函数。分子里 2x² 是偶的、x cos x 是奇的，所以整式拆成一个偶函数加一个奇函数：

\int_{-1}^{1}\frac{2x^2+x\cos x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{2x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx+\int_{-1}^{1}\frac{x\cos x}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx

第二项是奇函数，积分为 0。第一项分子分母同乘 1−√(1−x²)，分母变成 x²，被积函数化成 2(1−√(1−x²))：

∫₀¹ √(1−x²) dx 是四分之一单位圆的面积 π/4，所以结果是 4(1−π/4)=4−π，约 0.8584，与数值积分一致。

误用反例

最隐蔽的是第三行：1/x³ 在 [−1, 1] 上确实是奇函数，但 x=0 是瑕点，∫₀¹ dx/x³ 已经发散，整个积分发散，谈不上等于 0。凡是区间里有让分母为零的点，先判敛散再用口诀。

整理成笔记时，例 3 的拆项那一行最值得录下来：在本站编辑器点「LaTeX」，粘入上面的代码块，切回「可视化」模式看两个分式的分母是否一致；它单独要进 Word 时，走「导出」→「Word（含公式）」，这一步要登录并开通本站会员。

三道例题的被积函数，各配一个标签就够复习用：例 1 奇，例 2 偶，例 3 拆开后一半偶、一半奇。考前扫一眼这三行，比重背口诀管用。

延伸阅读

• 积分符号：积分号与对称上下限的写法
• 逻辑与符号：「区间对称且函数为奇」这类两个条件同时成立的写法
• 专升本偶倍奇零例题：对称区间积分的常考题