第一类换元积分法：常见凑微分对照表和4道例题

第一类换元积分法又叫凑微分法：当被积函数能写成 f(φ(x)) φ′(x) 的形状时，把 φ′(x) dx 凑成 dφ(x)，积分就变成对新变量 u=φ(x) 的基本积分。判断能不能用只看一件事：被积式里除去「外层函数」之后，剩下的部分是不是内层函数的导数（允许差一个常数倍）。下面先给常见凑微分对照表，再用 4 道逐步例题演示，并单独讲漏系数、漏负号两类高频错误。

凑微分对照表

凑微分本质上是把求导公式倒过来读。例如 (x²)′=2x，倒过来就是 x dx=½ d(x²)，那个 ½ 正是最容易漏掉的系数。下表按「看到什么 → 凑成什么」整理，左列出现在被积式里时，就可以往右列改写。

第三列就是核对依据：凑完之后，对 d 后面的式子求一次导，看能否还原左列，系数和符号就都不会错。有时导数因子藏得较深，例如 ∫dx/(x ln x)：把 dx/x 看成 d(ln x)，积分就成了 ∫d(ln x)/(ln x)=ln|ln x|+C。遇到分母里有 ln x、√x、1+x² 这类式子，先查表看它的导数是否正好出现在被积式里，这一步往往就决定了整题的走向。

4 道例题逐步写

例 1（线性内函数）：求 ∫(2x+3)⁵ dx。内层是 2x+3，导数是 2，而被积式里只有 dx，所以补一个 ½。

\int(2x+3)^{5}\,dx=\frac{1}{2}\int(2x+3)^{5}\,d(2x+3)=\frac{(2x+3)^{6}}{12}+C

这道题的系数 12 来自两处：换元补的 2 与幂函数积分除的 6，两者相乘，漏掉任何一个结果都会差一个倍数。

例 2（x dx 型）：求 ∫xe^(x²) dx。外层是指数函数，内层是 x²，旁边正好有一个 x，按表凑成 ½ d(x²)，结果是 ½e^(x²)+C，推导见下图。

凑微分题的关键在中间那个写出 d(x²) 的等号，把它在公式编辑页里单独排成一行留着，系数错在哪里一眼能查。

例 3（对数型）：求 ∫(ln x)²/x dx。把 1/x dx 看成 d(ln x)，整个积分就是关于 ln x 的幂函数积分。

\int\frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx=\int(\ln x)^{2}\,d(\ln x)=\frac{(\ln x)^{3}}{3}+C

例 4（三角型，注意负号）：求 ∫tan x dx。先把 tan x 拆成 (sin x)/(cos x)，再用 sin x dx=−d(cos x)，得 ∫tan x dx = −∫d(cos x)/cos x = −ln|cos x| + C。下图是三行写成一列的样子，负号出在第二行凑 d(cos x) 那一步。

四道题的共同步骤可以压成三步：认出内层函数 u；把 dx 前面的因子凑成 du，补上需要的常数；按基本积分公式对 u 积分，再把 u 写回原式。

漏系数与漏负号：两类高频错误

漏系数是这一方法里出现频率很高的错误。以例 2 为例，常见的错写是 ∫xe^(x²) dx=e^(x²)+C，也就是凑成 d(x²) 时忘了补 ½。对这个结果求导得 2xe^(x²)，比原被积函数多了一倍，一眼就能查出来。

漏负号集中在三角函数。例 4 若把 sin x dx 写成 d(cos x)，结果会变成 ln|cos x|+C，求导得 −tan x，符号正好反了。凡是用到 (cos x)′=−sin x 的地方，都要在凑出来的微分前面写上负号。

把凑微分这一步写全

手算时很多人习惯把「凑」的那一步省略，结果系数错了也看不出错在哪一行。建议保留中间那一个等号，它是整道题的核对点。

在本站录一份：打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，贴进例 4 的源码，再点「可视化」看排版；积分号后面的 d 与变量之间加一个 \,，微分符号读起来更清楚。积分号、分式也可以从编辑区底部的符号面板点选，不必记命令。

\begin{aligned}
\int\tan x\,dx &= \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx \\
&= -\int\frac{d(\cos x)}{\cos x} \\
&= -\ln|\cos x|+C
\end{aligned}

四道题都录好后，切到「文档编辑」逐条「插入公式」，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」交作业；导出这一步需要登录与本站会员。凑不出导数因子、或乘积里两类函数都不好凑时，就该换 分部积分法 了。

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