分部积分法怎么用：u与dv的选法和3个完整例题
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分部积分法的核心是一条公式：把 ∫u dv 改写成 uv−∫v du，让难积的乘积换成一个更容易的积分。选 u 按「反对幂指三」的顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，排在前面的优先当 u，其余部分连同 dx 当 dv。下面先给公式与选法速查，再用 3 个逐步手算例题（含一个循环积分）和 3 个常见错误把整套流程走一遍。
公式与「反对幂指三」选法
公式只有一行，推导来自乘积的求导法则：(uv)′=u′v+uv′ 两边积分再移项即得。
\int u\,dv = uv-\int v\,du
决定成败的是 u 选谁。判断标准有两条：u 求导之后要变简单，dv 要能顺利积出 v。按这两条去排，就得到下面这张顺序表。
| 顺序 | 函数类型 | 典型例子 | 为什么适合当 u |
|---|---|---|---|
| 1 | 反三角函数 | arctan x、arcsin x | 求导后变成有理式或根式 |
| 2 | 对数函数 | ln x | 求导得 1/x，对数消失 |
| 3 | 幂函数 | x、x² | 每求导一次降一次幂 |
| 4 | 指数函数 | eˣ | 求导积分都不变，放哪边都行 |
| 5 | 三角函数 | sin x、cos x | 积分容易，适合当 dv |
一句话：越靠前的函数求导后越「干净」，越该当 u。
3 个例题一步一步写
例 1（幂函数乘指数函数）：求 ∫xeˣ dx。幂函数排在指数函数前面，取 u=x，dv=eˣdx，于是 du=dx，v=eˣ，代进公式得 (x−1)eˣ+C，整行推导见下图。
核对方法是对结果求导：(x−1)eˣ 的导数是 eˣ+(x−1)eˣ=xeˣ，正好还原被积函数。回代多出或少了一项，多半是 v 的符号错了或减号后漏了括号。
例 2（反三角函数单独出现）：求 ∫arctan x dx。被积函数只有一项时，把 dx 整体当 dv，取 u=arctan x，v=x。
\int\arctan x\,dx = x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C
第二个积分用的是凑微分：x dx=½ d(1+x²)。这一招在 第一类换元积分法 里有完整的对照表，分部积分之后经常要接它收尾。
例 3 的推导有三行，括号里套着积分，最容易漏负号；先把它在公式编辑页里排成等号对齐的竖列，再往下读会清楚得多。
例 3（循环积分）：求 I=∫eˣsin x dx。指数与三角相乘时，两次分部之后原积分会回来，把它当成未知量 I 移项即可。两次都取三角函数当 u：第一次得 I = eˣsin x − ∫eˣcos x dx，第二次把 ∫eˣcos x dx 写成 eˣcos x + ∫eˣsin x dx，这里又出现了原积分 I，于是 I = eˣ(sin x − cos x) − I。下图是这三行在编辑器里对齐排好的样子。
移项得 2I=eˣ(sin x−cos x)，最后补上任意常数：
I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C
回代检查：对结果求导，得 ½eˣ(sin x−cos x)+½eˣ(cos x+sin x)，化简后正是 eˣsin x。
3 个常见错误对照
错误一：u 和 dv 选反。 对例 1 取 u=eˣ，dv=x dx，得到 ½x²eˣ−½∫x²eˣ dx。新积分里 x 的次数从 1 升到 2，比原题还难，继续做只会越滚越大。看到幂次升高，就该回头按顺序表重选。
错误二：循环积分中途换了 u 的类型。 例 3 第二次若改取 u=eˣ，dv=cos x dx，会得到 eˣsin x−∫eˣsin x dx，代回后变成 I=I，推了两步又回到起点。两次分部要让同一类函数留在 u 上，原积分才会带着相反符号重新出现。
错误三：移项时忘了除以 2。 例 3 移项后左边是 2I，直接把 eˣ(sin x − cos x) + C 当答案，结果是正确答案的 2 倍；求导回代得 2eˣsin x，一查便知。
把例 3 录成一份能交的推导
分部积分最容易错在符号：每做一次都要减去一个积分，括号一多就漏负号。建议一步一行、等号对齐，事后逐行回看。
在本站把例 3 录下来：打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，贴进下面的源码，再点「可视化」核对括号与负号。习惯可视化输入的话，公式内按 Enter 换行、按 & 跳到下一个对齐位置，效果相同。
\begin{aligned}
I &= e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx \\
&= e^{x}\sin x-\left(e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx\right) \\
&= e^{x}(\sin x-\cos x)-I
\end{aligned}
核对无误后，从顶栏「导出」选「Word（含公式）」，下载的 .docx 里是一条可以双击修改的公式，直接贴进作业。导出要登录并开通本站会员，档位与价格见会员页。三道例题要放进同一篇讲义时，改用「文档编辑」逐条「插入公式」，再导出「Word 文档 (.docx)」。
编辑器负责把过程排整齐，结果对不对仍靠上面那种求导回代来核对。
延伸阅读
常见问题
- 什么时候要用两次分部积分？
- 有两种常见情形。一是幂函数次数为二或更高，例如 x 的平方乘指数函数，每做一次只降一次幂，要连做两次。二是指数函数乘正弦或余弦，两次之后原积分会重新出现，这时把它当未知量移项解出。第二次选 u 时要沿用第一次的函数类型，否则会绕回原式。