不定积分怎么求：6种方法的选用顺序与例题

不定积分怎么求，按一个固定顺序去试：直接积分 → 凑微分 → 根式换元 → 分部积分 → 有理函数拆分 → 三角有理式代换，前一种走不通再换下一种。判断依据是被积函数的「长相」：能拆成积分表里的项就直接积，藏着「函数与它的导数」就凑微分，有根式就换元，两类函数相乘就分部。下面先给六类方法的特征对照表，再给每一类配 1 道能求导回代的例题，最后把六道题排成一页推导笔记。

六类方法的判断顺序

排序的原则是「步骤越少越先试」。直接积分和凑微分只需要认形状，换元与分部要多写几行，有理函数和三角有理式套路固定但计算量大，放在最后。

每一种方法做完，都对结果求一次导，看能否还原被积函数。这是不定积分通用的自检方式，下面每道例题都按这个习惯收尾。

六道例题各走一遍

① 直接积分：逐项套基本公式。

\int\left(3x^{2}-\frac{2}{x}+e^{x}\right)dx=x^{3}-2\ln|x|+e^{x}+C

② 凑微分：2x dx 正好是 d(x²)，所以 ∫2x cos(x²) dx=∫cos(x²) d(x²)=sin(x²)+C。凑微分的常见形式与漏系数问题，详见 第一类换元积分法。

③ 根式换元：为去掉根号，令 t=√x，则 x=t²，dx=2t dt，再把 2t/(1+t) 拆成 2−2/(1+t)，逐项积分再把 t 换回 √x，得 2√x − 2ln(1+√x) + C。下图是这三行在编辑器里写成多行的样子，第二行的拆分是整道题的关键。

④ 分部积分：幂函数乘三角函数，取 u=x，dv=cos x dx，于是 ∫x cos x dx=x sin x−∫sin x dx=x sin x+cos x+C。u 与 dv 怎么选，见 分部积分法 里的「反对幂指三」顺序。

做到这里，可以先把例③这三行换元推导照原样录进公式编辑页：点「LaTeX」写 aligned 源码，切回「可视化」模式核对根号与对数的层级，比抄在草稿纸上更容易回看。

⑤ 有理函数：分母 x²−1=(x−1)(x+1)，拆成部分分式 1/(x²−1)=½(1/(x−1)−1/(x+1))，逐项积分得

\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C

⑥ 三角有理式：用半角公式 1+cos x=2cos²(x/2)，被积函数变成 ½sec²(x/2)，结果是 tan(x/2)+C。换成万能代换 t=tan(x/2) 也能到同一个结果：此时 cos x=(1−t²)/(1+t²)，dx=2dt/(1+t²)，分母 1+cos x 化成 2/(1+t²)，与 dx 里的因子恰好约掉。

常见卡点与自检

卡点一：该凑微分却去分部。 例②若按分部积分处理，会越做越复杂。先扫一眼被积式里有没有「某函数的导数」，往往能省下一大段推导。

卡点二：有理函数没先做除法。 分子次数不低于分母时，要先用多项式除法化成「多项式 + 真分式」，再拆部分分式，否则待定系数列不出来。例如 x³/(x²−1)=x+x/(x²−1)，后一项再凑微分。

卡点三：忘记绝对值与常数。 1/x 的原函数是 ln|x|，定义域包含负数时绝对值要保留；最后的 +C 代表全体原函数，也要写上。

把六道例题排成一页推导笔记

复习积分时，把六类题的结果并排放在一页上对照，比零散做题更容易记住方法之间的区别。下面这页按「方法 → 例题 → 结果」排好，每条都能对结果求导核对。

具体做法分三步。第一步，打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例③的推导贴进去：

\begin{aligned}
\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}} &= \int\frac{2t}{1+t}\,dt \\
&= \int\left(2-\frac{2}{1+t}\right)dt \\
&= 2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C
\end{aligned}

第二步，点「可视化」核对积分号、分式和绝对值；其余五道也照这个格式一题一条。第三步，在顶栏切到「文档编辑」，用「插入公式」把六条按顺序放进同一篇文档，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」，得到一份公式可以双击修改的作业稿。只交一条公式时，在公式编辑页用「导出」→「Word（含公式）」即可。

导出这一步要登录并开通本站会员；编辑与预览不用登录。推导对不对，仍靠上面那张自检表手算核对。

延伸阅读

• 分部积分法：u 与 dv 的选法和循环积分
• 第一类换元积分法：凑微分对照表与漏系数错误
• 积分符号：积分号的读法与写法