旋转体体积：绕x轴与绕y轴的公式和例题
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旋转体体积有两套公式：垫圈法（圆盘法）垂直于旋转轴切片，截面是圆或圆环，体积等于 π 乘以「外半径平方减内半径平方」的积分；柱壳法平行于旋转轴切片，每片卷成一个薄圆筒，体积等于 2π 乘以「半径×高」的积分。绕 x 轴一般用垫圈法对 x 积分，绕 y 轴一般用柱壳法对 x 积分。本文三道例题用同一块区域 D，分别绕 x 轴、y 轴和直线 y=1 旋转，方便对照三种轴下半径怎么取。
两套公式与半径的取法
| 方法 | 切片方向 | 体积元 | 半径量的是什么 |
|---|---|---|---|
| 圆盘法 | 垂直于轴 | π·f(x)²·dx | 曲线到轴的距离 |
| 垫圈法 | 垂直于轴 | π·(R²−r²)·dx | 外、内两条边界到轴的距离 |
| 柱壳法（绕 y 轴） | 平行于轴 | 2π·x·h(x)·dx | 切片到轴的距离 x |
| 柱壳法（绕 x=a） | 平行于轴 | 2π·ρ·h(x)·dx | ρ 是切片到直线 x=a 的距离 |
h(x) 是切片的高，即上边界减下边界。所有「半径」都是到旋转轴的距离，轴一换，半径就要重新量，这是三道例题要反复练的一点。公式里的 π 来自圆面积 πr²，柱壳法的 2π 来自圆周长 2πr，记住这两个来源就不会漏乘。
本文的区域 D 由 y=x 与 y=x² 围成：两曲线交于 (0, 0) 与 (1, 1)，在 0<x<1 上 y=x 在上、y=x² 在下，取 x=1/2 代值即可确认：1/2 大于 1/4。
例 1：D 绕 x 轴旋转（垫圈法）
图形描述：D 绕 x 轴转一圈，得到一个中间空心的「喇叭」形实体。在 x 处垂直于 x 轴切一刀，截面是圆环：外半径是上边界 R=x，内半径是下边界 r=x²。以 x=1/2 为例，外圆半径 1/2，内圆半径 1/4：
体积：
V_x=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}
约 0.4189。按辛普森法对 π(x²−x⁴) 做数值积分，结果相同。
例 2：D 绕 y 轴旋转（柱壳法，再用垫圈法核对）
图形描述：D 绕 y 轴转一圈，得到一个碗壁状的实体，外壁是 y=x² 转出的抛物面，内壁是 y=x 转出的圆锥面。
柱壳法：在 x 处取宽 dx 的竖条，高 h=x−x²，到 y 轴的距离是 x，卷起来的薄圆筒体积 2πx(x−x²)dx：
用垫圈法对 y 积分核对：把边界改写成 x=y（内）与 x=√y（外），截面圆环面积 π(y−y²)，∫₀¹ π(y−y²)dy=π(1/2−1/3)=π/6。两种方法都得 π/6，约 0.5236。
例 3：D 绕直线 y=1 旋转
图形描述：旋转轴在区域上方。y=1 到下边界 y=x² 的距离是 1−x²，到上边界 y=x 的距离是 1−x。离轴远的是下边界，所以外半径 R=1−x²，内半径 r=1−x，和例 1 正好对调。
V=π∫₀¹[(1−x²)²−(1−x)²]dx。展开方括号：(1−2x²+x⁴)−(1−2x+x²)=2x−3x²+x⁴，积分得 1−1+1/5=1/5，所以 V=π/5，约 0.6283，与数值积分一致。
常见错误
- 把 R²−r² 写成 (R−r)²：例 1 若写成 π∫(x−x²)²dx，结果是 π/30，只有正确值的四分之一。
- 轴换了半径没换：例 3 照搬例 1「上边界当外半径」的取法，写成 R=1−x、r=1−x²，被积函数 (1−x)²−(1−x²)² 在 (0,1) 上为负，积出来是 −π/5。
- 柱壳漏了 2π 或半径：柱壳体积元是周长 2πx 乘高再乘厚度，三者缺一不可。
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例 1 与例 3 用的是同一块区域 D，差别只在轴：轴从 x 轴换到 y=1，外半径与内半径就对调了。遇到新的轴，先问哪条边界离轴更远。
延伸阅读
常见问题
- 绕y轴时用哪种方法更简单？
- 看曲线给的形式。曲线写成 y 等于 x 的函数、又不好反解出 x 时，用柱壳法，直接对 x 积分，半径就是 x。能轻松写成 x 等于 y 的函数时，垫圈法对 y 积分也很顺手。拿不准时两种都做一遍，结果应当相同，本文例 2 就是这样互相核对的。