高数期末定积分应用：面积、体积、弧长三类题

高数期末定积分应用基本只考三类题：平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长，每一类都是「先画图定范围，再套一条公式，最后积分」三步。阅卷时公式本身占分不多，丢分集中在积分区间、旋转轴对应的半径和根号开方这三处。下面先给一张公式卡片，再按面积、体积、弧长给出 4 道逐步解析，最后列出评分时最常见的扣分点。

公式卡片：三类题七条公式

选公式先看题目给的曲线形式：给 y=f(x) 就用直角坐标那一行，给 x(t)、y(t) 就用参数方程，给 r(θ) 就用极坐标。体积题再看旋转轴：绕 x 轴用圆盘公式 π∫f² dx，绕 y 轴用柱壳公式 2π∫x·f dx，两条都对 x 积分，省去反解函数。

每条公式都有一个几何来源，记住来源比死背更牢。面积的被积函数是小竖条的高，所以要写成上减下；极坐标面积来自小扇形，扇形面积是半径平方乘圆心角的一半。圆盘公式里的 πf² 是截面圆的面积，柱壳公式里的 2πx·f 是薄圆筒展开后的长方形面积。弧长的三条公式都把一小段弧近似成直角三角形的斜边，根号里是两个方向增量的平方和。三类公式里只有弧长带根号，所以弧长题的难点几乎都在化简根号。

期末卷面上最常用的七条整理成下面这张卡片，考前可以只看左边的标签回忆右边的公式，回忆不出来的那几条就是要重点背的：

例 1 面积与例 2 体积

例 1 求曲线 y=1/x、直线 y=x 与 x=2 围成的平面图形面积。

第一步定范围：y=x 与 y=1/x 在第一象限交于 (1, 1)，右边界是 x=2，所以积分区间是 [1, 2]。第二步判上下：在区间里取 x=1.5，直线的值 1.5 大于曲线的 0.67，直线在上。第三步积分：

S=∫₁² (x−1/x) dx=[x²/2−ln x]₁²=(2−ln 2)−1/2=3/2−ln 2，约 0.807。

例 2 由 y=sin x（0≤x≤π）与 x 轴围成的图形，分别绕 x 轴、y 轴旋转，求两个旋转体的体积。

绕 x 轴：V_x=π∫₀^π sin²x dx，用 sin²x=(1−cos 2x)/2，得 V_x=π·π/2=π²/2，约 4.935。

绕 y 轴：用柱壳公式，半径是 x，高是 sin x，V_y=2π∫₀^π x sin x dx。分部积分得 x sin x 的原函数 −x cos x+sin x，代入 0 与 π 得 π，所以 V_y=2π²，约 19.74。

同一块图形，绕 y 轴的体积恰好是绕 x 轴的 4 倍，因为图形离 y 轴更远，转出来的半径更大。

例 3、例 4 弧长

例 3 求曲线 y=(2/3)x^(3/2) 从 x=0 到 x=3 的弧长。

y′=x^(1/2)，所以 1+y′²=1+x，根号直接开成 √(1+x)。s=∫₀³ √(1+x) dx=(2/3)(1+x)^(3/2) 从 0 代到 3，得 (2/3)(8−1)=14/3。

例 4 求摆线 x=a(t−sin t)、y=a(1−cos t) 一拱（0≤t≤2π）的长度，a>0。

x′(t)=a(1−cos t)，y′(t)=a sin t，平方相加得 a²(2−2cos t)=4a²sin²(t/2)。开根号得 2a|sin(t/2)|，在 [0, 2π] 上 sin(t/2)≥0，绝对值可以直接去掉。推导在编辑器里排出来是这样：

一拱长度是 8a。这条源码可以直接复制去改：

s=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}\,dt=\int_{0}^{2\pi}2a\left|\sin\frac{t}{2}\right|dt=8a

评分时最常见的扣分点

期末卷的计算题通常按「公式、代入、积分、结果」四步给分，公式那一行哪怕后面算错也能拿到分。积分号与上下限的读法、写法可以对照 积分符号 一文。

四道题里最值得做成复习卡的是例 2：同一块区域转出两个体积，半径分别是 sin x 与 x。切到「文档编辑」把 V_x、V_y 上下排开，换一个函数就是一道新练习。

延伸阅读

• 积分符号：有无上下限时结果类型的区别，以及录入时把界限绑定到积分号
• 帮助中心：快速上手、公式编辑双模式、导入导出与会员边界等使用教程