比值审敛法与根值审敛法：适用题型与例题

比值审敛法看正项级数相邻两项之比 uₙ₊₁/uₙ 的极限 ρ，根值审敛法看 uₙ 开 n 次方的极限 ρ，两者结论的读法相同：ρ<1 收敛，ρ>1 发散，ρ=1 判不出，要改用比较法等其他判别法。通项含阶乘或多个因子连乘时用比值法，相邻两项一除，大部分因子会约掉；通项整体是某个式子的 n 次方时用根值法，开方直接去掉指数。下面两种方法各配 2 道例题，最后讲 ρ=1 时怎么收场。

两个判别法速查

两个方法都只用于正项级数；对一般级数，可以拿 |uₙ| 来用，判出的是绝对收敛。ρ>1 时通项本身不趋于 0，所以能直接判发散，这一点对一般级数同样成立。

根值法用到两个常用极限：n 开 n 次方趋于 1，任意正常数 a 开 n 次方也趋于 1。比值极限存在时，根值极限一定存在且相等，所以根值法能判的级数不比比值法少，只是遇到阶乘时开方很难算。选哪个方法，看通项的「形状」就够了：一堆因子相乘、相邻两项能大面积约掉的，用比值法；整个通项是一个式子的 n 次方的，用根值法；两种形状都不是的，通常要回到比较法，或者先用等价无穷小把通项化简再判断。

比值法：两道含阶乘的例题

例 1：判断 Σ 3ⁿ·(n 的阶乘)/nⁿ 的敛散性。

相邻两项相除，(n+1) 的阶乘除以 n 的阶乘只剩 n+1，再和分母的 (n+1)ⁿ⁺¹ 约掉一个 n+1：

\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{3^{n}\,n!}
=3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\to\frac{3}{e}\approx 1.10>1

ρ=3/e>1，级数 发散。核对：n=1000 时比值约为 1.104，通项已经大到 10⁴⁴ 量级。把 3 换成 2，极限变成 2/e≈0.74，级数收敛——这一族级数的分界点恰好是 e。

例 2：判断 Σ (2n) 的阶乘 /((n 的阶乘)²·5ⁿ) 的敛散性，n 从 0 起。

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}\,5^{n}},\qquad
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{5(n+1)^{2}}\to\frac{4}{5}

(2n+2) 的阶乘除以 (2n) 的阶乘是 (2n+2)(2n+1) 两个因子，不是一个；(n+1) 的阶乘平方除以 n 的阶乘平方是 (n+1)²。比值为 (2n+2)(2n+1)/(5(n+1)²)，趋于 4/5，小于 1，级数收敛。这个级数的和是 √5，前 400 项之和 2.2361 与之吻合。

根值法：两道 n 次方例题

例 3：判断 Σ (n/(2n+1))ⁿ。通项开 n 次方就是 n/(2n+1)，趋于 1/2，收敛。用比值法也能做，但要处理 ((n+1)/(2n+3))ⁿ⁺¹ 与 (n/(2n+1))ⁿ 之比，远不如开方直接。

例 4：判断 Σ (arctan n)ⁿ/2ⁿ。开 n 次方得 arctan n/2，n→∞ 时 arctan n→π/2，极限是 π/4≈0.785，收敛。

ρ=1：换一个判别法

Σ1/√n 与 Σ ln n/n²，比值极限、根值极限都是 1，两个方法都判不出，而它们一个发散一个收敛：

• Σ1/√n 是 p=1/2 的 p 级数，发散；
• 对一切 n≥1 有 ln n<√n，所以 ln n/n²<1/n^(3/2)，与 p=3/2 的 p 级数比较，收敛。

ρ=1 时按这个顺序换：先看通项是否趋于 0，再与 p 级数比较（常用极限形式），通项里有对数时考虑积分判别法。

四处常见错

1. 比值写反：算成 uₙ/uₙ₊₁，例 2 会得到 5/4，结论整个颠倒。
2. 阶乘约分少一项：(2n+2) 的阶乘除以 (2n) 的阶乘写成 2n+2，漏了 2n+1。
3. 把 ρ=1 当结论：ρ=1 既不说明收敛也不说明发散。
4. 一般级数直接套：对 Σ(−1)ⁿ/n 取绝对值得 ρ=1，只能说明比值法对它失效，它其实条件收敛。

在本站公式编辑页点「LaTeX」，阶乘直接写 n!，n 次方根写 \sqrt[n]{u_n}，极限号写 \lim_{n\to\infty}。

比值法的题，约分那一行抄对了，后面就很少出错。例 1 里 3ⁿ⁺¹ 对 3ⁿ、(n+1)ⁿ⁺¹ 对 nⁿ 成对摆开，阶乘的位置在预览里逐个过一遍，末行写上「分界点是 e」；Σ、∞ 的命令去 LaTeX 符号大全 查。

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