比较审敛法：找参照级数的方法与极限形式

比较审敛法用来判断正项级数的敛散性：通项 uₙ 不超过某个收敛级数的通项，Σuₙ 就收敛；uₙ 不小于某个发散级数的通项，Σuₙ 就发散。参照级数几乎总在两类里找：p 级数 Σ1/nᵖ（p>1 收敛，p≤1 发散）和等比级数 Σqⁿ（|q|<1 收敛）。放缩不好找时改用极限形式，uₙ 与参照通项之比的极限若是非零有限数，两个级数同敛散，找参照就是找 uₙ 的主部。

两种形式与参照级数速查

基本形式有方向要求：证收敛，要把 uₙ 往大放，放到一个收敛级数；证发散，要把 uₙ 往小放，放到一个发散级数。方向放反了，不等式本身没错，却什么也推不出来。所以写放缩那一行之前，先想清楚要证的是哪个结论，再决定往哪个方向放，本文最后一节专门列了两个放反的例子。

极限形式不用放缩。设 vₙ 是参照通项，uₙ/vₙ 的极限为 l：

• 0<l<+∞：两个级数同敛散；
• l=0 且 Σvₙ 收敛：Σuₙ 收敛；
• l=+∞ 且 Σvₙ 发散：Σuₙ 发散。

三种情形里，做题时用得最多的是第一种；后两种用于通项与参照通项不同阶的时候，比如拿 ln n/n³ 去和 1/n² 比，比值 ln n/n 趋于 0，而 Σ1/n² 收敛，所以 Σln n/n³ 收敛。lim 下方的 n→∞ 表示什么、怎么排版，见 极限符号。

找主部的办法按通项的样子分三类：有理式、根式看最高次幂，指数型看底数，含三角、对数函数的先换等价无穷小。常用的几组如下表，右列就是该取的参照级数。

三道例题：有理式、指数型、根式

例 1 判断 Σ(2n+1)/(n³+4) 的敛散性，n 从 1 起。

分子最高次 1，分母最高次 3，主部是 2/n²，取 vₙ=1/n²。uₙ/vₙ=(2n³+n²)/(n³+4)，极限为 2，而 Σ1/n² 收敛，所以原级数收敛。用基本形式也行：n≥1 时 2n+1≤3n、n³+4>n³，于是 uₙ<3/n²，方向是往大放，结论相同。

例 2 判断 Σ2ⁿ/(3ⁿ−n)。

指数型，看底数：分母里 3ⁿ 远大于 n，主部是 (2/3)ⁿ。二者之比等于 3ⁿ/(3ⁿ−n)，极限为 1，等比级数 Σ(2/3)ⁿ 收敛，所以原级数收敛。这里分母是「减」，uₙ 比 (2/3)ⁿ 略大，基本形式要多绕一步，极限形式一句话就完。

例 3 判断 Σ(√(n+1)−√n)。

先分子有理化：√(n+1)−√n=1/(√(n+1)+√n)，主部是 1/(2√n)。取 vₙ=1/√n，比值 √n/(√(n+1)+√n) 的极限是 1/2，而 p=1/2 的 p 级数发散，原级数发散。核对：这个级数的前 N 项和正好是 √(N+1)−1，随 N 增大没有上界，与结论一致。

放缩方向搞反的两个错误

错误 1 证 Σ1/(n²−n+1) 收敛，写「1/(n²−n+1)≥1/n²，而 Σ1/n² 收敛，所以收敛」。不小于一个收敛级数的通项，推不出收敛。正确放法：n≥1 时 n²−n+1≥n²/2，所以通项≤2/n²，往大放到收敛级数；或者直接用极限形式，与 1/n² 之比趋于 1。

错误 2 证 Σ1/√(n²+1) 发散，写「1/√(n²+1)<1/n，而 Σ1/n 发散，所以发散」。小于一个发散级数的通项，同样推不出发散。应当往小放：n²+1≤2n²，所以通项≥1/(√2·n)，而 Σ1/(√2·n) 发散。

两处错误的共同点是：不等式成立，只是方向与结论不配。写完放缩那一行，先问一句「我是往大放还是往小放，参照级数是收敛还是发散」，四种组合里只有两种能下结论。

在本站公式编辑页点「LaTeX」，可以把三道例题的判断逐行录下来，例 3 那行如下，改数字就能套到别的根式题上：

\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2}

分母带减号的通项，有的评分标准要求写出放缩过程。以例 2 为例，用极限形式判完之后再补一行 3ⁿ−n≥3ⁿ/2（n≥1 时成立），通项就不超过 2·(2/3)ⁿ，改写成了基本形式；两种写法并排留在笔记里，遇到哪种评分要求都用得上。

延伸阅读

• 极限符号：lim 的上下标各表示什么，极限形式那一行怎么写
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