专升本偶倍奇零例题：对称区间积分的常考题

专升本偶倍奇零例题基本按同一个套路做：先看积分区间是不是 [−a, a]，再逐项判断被积函数是奇是偶，最后奇函数项记 0、偶函数项改写成 0 到 a 上积分的 2 倍。选择题和填空题里它常常一步出答案，计算题里则多以「拆项后一半为零」的形式出现。下面给出三步做法、常见奇偶函数速查和 4 道逐步解析，每道题都附答案数值，备课或自测时可以直接核对。

三步做法与奇偶速查

第二步靠熟记几类函数。专升本题目里反复出现的是下面这些：

乘积规律只有三条：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。和式要逐项判断，整体往往既不奇也不偶，这就是第二步要写「拆项」的原因。

例 1（选择题）与例 2（填空题）

例 1 下列定积分等于 0 的是（ ）。

A. ∫₋₁¹ x² ln(x+√(1+x²)) dx　B. ∫₋₁¹ x arctan x dx　C. ∫₋₁² x³ dx　D. ∫₋₁¹ (eˣ+e⁻ˣ) dx

逐项排查：C 的区间是 [−1, 2]，关于原点并不对称，它的值是 15/4。D 的被积函数是正的偶函数，积分约为 4.70。B 是奇×奇=偶，等于 2∫₀¹ x arctan x dx=π/2−1，约 0.571。A 中 x² 为偶，而 ln(−x+√(1+x²))=ln(1/(x+√(1+x²)))=−ln(x+√(1+x²))，对数式为奇，乘积为奇，积分为 0，选 A。

例 2 ∫ 从 −π/2 到 π/2 的 (x³+sin²x)cos x dx = ______。

拆项：x³cos x 是奇×偶=奇，积分为 0；sin²x cos x 是偶×偶=偶。原式等于 2∫₀^(π/2) sin²x cos x dx，凑微分后原函数是 sin³x/3，代入得 2/3。整道题在编辑器里写成一行：

例 3、例 4（计算题）

例 3 求 ∫₋₁¹ (x+√(1−x²))² dx。

先展开平方：x²+2x√(1−x²)+1−x²，x² 与 −x² 抵消，只剩 1+2x√(1−x²)。中间项是奇×偶=奇，积分为 0；常数 1 在长度为 2 的区间上积分，原式 = 2。

这道题不展开也能做，但要用三角代换处理 √(1−x²)，卷面多出半页。先展开、再看奇偶，是对称区间上带平方的题的通用顺序。

例 4 求 ∫₋₂² (|x|+x)e^(−|x|) dx。

拆成两项：|x|e^(−|x|) 是偶函数，x·e^(−|x|) 是奇×偶=奇，积分为 0。原式等于 2∫₀² x e⁻ˣ dx。右半区间上 x≥0，绝对值才能直接去掉。分部积分得原函数 −(x+1)e⁻ˣ，代入 0 与 2 得 1−3e⁻²，所以原式 = 2−6e⁻²，约 1.188。推导可以照下面的源码录入：

\begin{aligned}
\int_{-2}^{2}\left(|x|+x\right)e^{-|x|}\,dx &= 2\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx+0 \\
&= 2\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{0}^{2} \\
&= 2-6e^{-2}
\end{aligned}

奇函数那一项在图上看得更清楚：x·e^(−|x|) 在原点两侧的面积一正一负、大小相同，正好抵消。

易丢分的四处

1. 区间没核对：例 1 的 C 上下限是 −1 和 2，套口诀写 0 直接丢分。
2. 和式整体判奇偶：例 2 的 (x³+sin²x)cos x 整体既不奇也不偶，要拆成两项分别判断。
3. 偶倍漏乘 2：例 4 写成 ∫₀² x e⁻ˣ dx，结果只剩一半。
4. 先去绝对值再拆项：例 4 若在整个 [−2, 2] 上把 e^(−|x|) 写成 e⁻ˣ，左半区间就错了；先偶倍把区间换成 [0, 2]，再去绝对值。

四道题的判断依据和答案汇总如下，考前扫一遍即可：

积分号带上下限的读法与写法，可以参考 积分符号。

出练习卷时，例 3、例 4 这类看似要硬算的题最能检验学生是否先看奇偶。例 4 的代码块点一下就能带进编辑页，改上下限或被积函数，另出一道同型题。

延伸阅读

• 积分符号：有无上下限时结果类型的区别，以及录入时把界限绑定到积分号
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