非齐次微分方程特解怎么设：待定系数表与例题

二阶常系数非齐次微分方程特解的设法只看两件事：右端 f(x) 属于哪一类，以及 f(x) 里的指数 λ（或 λ+iω）是不是特征根。f(x)=P_m(x)e^(λx) 时设 y*=x^k·Q_m(x)·e^(λx)，Q_m 是与 P_m 同次的待定多项式；f(x) 含 cos ωx 或 sin ωx 时，余弦和正弦两项都要设。k 的取法统一：λ 不是特征根取 0，是单根取 1，是二重根取 2。

待定系数对照表

先解齐次部分的特征方程 r²+pr+q=0，再对照下表设特解。

两点补充。第一，纯多项式 f(x)=3x+1 也属于第一类，此时 λ=0，要看 0 是不是特征根，也就是 q 是否为零。第二，三角函数那一类的 k 最多到 1，因为二阶方程的一对共轭复根各自只能出现一次。

k 的作用可以这样理解：把 Q(x)e^(λx) 代入左边，Q 本身那一项的系数是 λ²+pλ+q。λ 是特征根时这个系数恰好为零，结果的次数比 Q 低一次（二重根时低两次），与右端对不上；乘上 x^k 正好把次数补回来。

三道例题逐步写

例 1（k=0，多项式）：y″−2y′−3y=3x+1。

特征方程 r²−2r−3=0，根为 3 和 −1。f(x) 是一次多项式，λ=0 与两个根都不相等，k=0，设 y*=Ax+B。

代入：y*′=A，y*″=0，左边 −2A−3(Ax+B)=−3Ax+(−2A−3B)。比较系数：−3A=3，−2A−3B=1，得 A=−1、B=1/3，所以 y*=−x+1/3。

验算：−2·(−1)−3(−x+1/3)=2+3x−1=3x+1，成立。

例 2（k=1，指数）：y″−y′−2y=3e^(−x)。

特征方程 r²−r−2=0，根为 2 和 −1。λ=−1 恰好是单根，k=1，设 y*=Axe^(−x)。

求导：y*′=A(1−x)e^(−x)，y*″=A(x−2)e^(−x)。代入左边，把 e^(−x) 提出：A[(x−2)−(1−x)−2x]=−3A。于是 −3A=3，A=−1，y*=−xe^(−x)。

如果漏看 λ 是特征根、直接设 Ae^(−x)，代入后左边为 A(1+1−2)e^(−x)=0，比较系数得到 0=3，这就是设错的信号。

例 3（k=1，三角函数）：y″+4y=cos 2x。

特征方程 r²+4=0，根为 ±2i。f(x) 的 λ=0、ω=2，λ+iω=2i 是特征根，k=1，设 y*=x(Acos 2x+Bsin 2x)。

记 u=Acos 2x+Bsin 2x，它满足 u″=−4u。于是 y*″=2u′+xu″，代入得 y*″+4y*=2u′=−4Asin 2x+4Bcos 2x。对照右端 cos 2x：A=0，B=1/4，所以特解为 y*=(x/4)sin 2x。

补一个 k=2 的对照：y″−2y′+y=eˣ 的特征根 1 是二重根，设 y*=Ax²eˣ，代入后左边为 2Aeˣ，得 A=1/2，y*=½x²eˣ。

常见错误对照

• 忘记比较 λ 与特征根：例 2 设成 Ae^(−x)，比较系数出现 0=3。
• 多项式次数设低：例 1 只设 y*=A，代入后左边只剩常数 −3A，右端 3x 那一项缺了配对。
• 三角函数只设一项：例 3 只设 xAcos 2x，求导后会冒出正弦项，比较系数时出现矛盾。
• 把特解当成通解交卷：题目要通解时，还要加上齐次通解，例 1 的通解是 C₁e^(3x)+C₂e^(−x)−x+1/3。

齐次部分的通解按特征根三种情形写，前面的分离变量类方程则是另一条路线，可以回看 可分离变量微分方程 对照两者的差别。

把设法与比较系数排成笔记

待定系数这一步最容易在草稿上抄错项，逐行录进公式编辑页更清楚。点「LaTeX」后，例 2 可以这样记录：

\begin{aligned}
y^{*} &= Axe^{-x} \\
y^{*\prime\prime}-y^{*\prime}-2y^{*} &= A\left[(x-2)-(1-x)-2x\right]e^{-x} = -3Ae^{-x} \\
-3A &= 3 \;\Rightarrow\; A=-1,\quad y^{*}=-xe^{-x}
\end{aligned}

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延伸阅读

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