可分离变量微分方程：分离、积分、写通解三步

可分离变量微分方程是能写成 dy/dx=f(x)·g(y) 的方程，解法固定为三步：把含 y 的部分移到 dy 一边、含 x 的部分移到 dx 一边，两边分别积分，最后整理出通解。最容易出错的地方在第一步：两边除以 g(y) 时默认了 g(y)≠0，使 g(y)=0 的常数解可能被丢掉，写完通解要回头补查。下面三道例题分别对应三种情况：常数解能被通解包含、带初值条件、常数解被丢掉。

三步的写法与检查点

以 dy/dx=f(x)·g(y) 为例，三步各有一个检查点：

1. 分离变量：写成 dy/g(y)=f(x)dx。检查点：记下 g(y)=0 的根，它们各自是一个常数解 y=c。
2. 两边积分：∫dy/g(y)=∫f(x)dx，只在一边加积分常数 C。检查点：出现 ∫dy/y 时写 ln|y|，带绝对值。
3. 整理通解：能解出 y 就解出来，解不出就保留隐式通解。检查点：把第 1 步记下的常数解与通解对照，看是否已经包含在内。

判断一个方程能否分离，只看右端能否拆成「只含 x 的因子」乘「只含 y 的因子」。例如 y′=x+y 拆不开，它属于一阶线性方程；y′=eˣ⁻ʸ=eˣ·e⁻ʸ 能拆开，属于本文这一类。再如 y′=sin x·cos y 也能拆，cos y=0 给出一族常数解 y=π/2+kπ，第 1 步就要把它们记下来。

三道例题逐步写

例 1：(1+x²)dy=xy dx。

分离变量：dy/y=x/(1+x²) dx，这一步默认 y≠0，先记下常数解 y=0。

两边积分：ln|y|=½ln(1+x²)+C₁。

整理：|y|=e^C₁·√(1+x²)，去掉绝对值后把 ±e^C₁ 合并成 C，得通解 y=C√(1+x²)。C=0 时正好是 y=0，所以常数解已经包含在通解里。

验算：y′=Cx/√(1+x²)，(1+x²)y′=Cx√(1+x²)=x·y，成立。

例 2（带初值）：y′=eˣ⁻ʸ，y(0)=0。

拆开右端：dy/dx=eˣ·e⁻ʸ。两边乘 eʸ 分离：eʸdy=eˣdx。这里 e⁻ʸ 恒不为零，没有常数解需要补。

两边积分：eʸ=eˣ+C。

代入初值 x=0、y=0：1=1+C，所以 C=0，特解 y=x。代回原方程：左边 y′=1，右边 e^(x−x)=1，成立。

例 3（丢解的情形）：y′=xy²。

分离变量：dy/y²=x dx，这一步默认 y≠0，记下常数解 y=0。

两边积分：−1/y=x²/2+C₁，解出 y=−2/(x²+2C₁)，把 2C₁ 记作 C，得 y=−2/(x²+C)。

验算：y′=4x/(x²+C)²，而 xy²=x·4/(x²+C)²，两边相等。

回头对照：通解里无论 C 取什么值，y 都不会恒等于 0，所以 y=0 是被分离步骤丢掉的特解，答案必须把它单独写上：通解 y=−2/(x²+C)，另有特解 y=0。

常见错误对照

表里第三行正是例 3 的情况：y′=xy² 的通解族覆盖不到 y=0，考试时漏写它通常会被扣分。

当 g(y) 恰好是 y 的一次式时（如例 1 的 g(y)=y），方程同时也是 一阶线性微分方程，可以再用通解公式算一遍，两种做法互相验算。

录进编辑器留作笔记

三道题的推导都是「分离 → 积分 → 整理」三行，适合按 aligned 格式记录。打开公式编辑页点「LaTeX」，把例 3 贴进去，末尾用 \quad 隔开补写的特解：

\begin{aligned}
\frac{dy}{y^{2}} &= x\,dx \\
-\frac{1}{y} &= \frac{x^{2}}{2}+C_{1} \\
y &= -\frac{2}{x^{2}+C}\quad(\text{另有特解 } y=0)
\end{aligned}

预览确认后，可以从「导出」选「导出 Markdown (.md)」，每次导出当前这一条；三道题要存进同一份课程笔记，先在「文档编辑」里逐条「插入公式」，再从文档的「导出」选「Markdown (.md)」；导出要登录并开通本站会员。积分号的写法与读法可以参考 积分符号。

延伸阅读

• 一阶线性微分方程：通解公式、积分因子写法与三道例题
• 积分符号：积分号怎么读、怎么写
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