矩阵的秩怎么求：初等行变换化阶梯形的步骤
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矩阵的秩怎么求，最稳的做法是用初等行变换把矩阵化成行阶梯形，数其中非零行的个数，这个数就是秩。行变换只有三种：交换两行、某行乘一个非零常数、某行加上另一行的倍数，三种都保持秩。下面给出化阶梯形的顺序与判定标准，再用三道例题逐步演示，第三道是含参数的矩阵，要按参数取值分情况讨论。
化行阶梯形的顺序与判定
化阶梯形按列推进，每一列做三件事：
- 选主元：在当前列、当前行以下找一个非零元，必要时交换两行把它换到最上面；首元是 1 或 −1 的行优先，能少算分数。
- 消下方：用主元所在行的倍数，把它下面同一列的元素全部消成 0。
- 下移一格：去掉已处理的行与列，对剩下的子矩阵重复前两步，直到剩下的行全为零或没有列可处理。
化完之后按两条标准检查是否真是行阶梯形：零行都在最下面；每个非零行的首个非零元（主元）所在的列，严格位于上一行主元的右边。两条都满足，数非零行即可；主元可一次跨过好几列，例 1 就是这样。
还有一个现成的上限可以当检查：m×n 矩阵的秩至多是 m 与 n 中较小的那个。算出的秩超过这个数，一定是哪一步抄错了行。动笔前也可先扫一眼原矩阵：有两行成比例，或某一行等于另外几行之和，化完必定出现零行，秩一定小于行数。
例 1、例 2：数非零行
例 1：求 A 的秩，A 的三行依次是 (1, −1, 2, 1)、(2, −2, 5, 3)、(−1, 1, −1, 0)。
第二行减去第一行的 2 倍，得 (0, 0, 1, 1)；第三行加上第一行，得 (0, 0, 1, 1)。第二列在第一行以下已全是 0，主元直接跳到第三列；再用第三行减去第二行，第三行变成全零，两步变换见下方公式图。
非零行 2 行，r(A)= 2。主元在第 1、3 列，第 2 列没有主元，说明第 2 列可由左边的主元列线性表示（这里左边只有第 1 列，即第 1 列的倍数），原矩阵里一眼可核对：第 2 列恰好是第 1 列的 −1 倍。
例 2：求 4×3 矩阵 B 的秩，B 的四行依次是 (1, 2, 0)、(0, 1, 1)、(2, 3, −1)、(1, 0, 1)。
第三行减去第一行的 2 倍得 (0, −1, −1)，第四行减去第一行得 (0, −2, 1)。以第二行为主元行：第三行加第二行得 (0, 0, 0)，第四行加第二行的 2 倍得 (0, 0, 3)。把全零行换到最下面，得到非零行 (1, 2, 0)、(0, 1, 1)、(0, 0, 3)，r(B)= 3，正好达到上限 min(4, 3)=3，说明 B 的三列线性无关。
例 3：含参数矩阵的秩要分情况
例 3：矩阵 A 的三行是 (1, 1, a)、(1, a, 1)、(a, 1, 1)，讨论 a 取不同值时 r(A)。
第二行减第一行得 (0, a−1, 1−a)；第三行减去第一行的 a 倍得 (0, 1−a, 1−a²)。再把第三行加上第二行，第三列变成 1−a+1−a²，因式分解为 (1−a)(2+a)。化到这步，三行依次是 (1, 1, a)、(0, a−1, 1−a)、(0, 0, (1−a)(2+a))。
先停下，三种情况逐一讨论，每种都回到原矩阵核对：
- a=1：三行都是 (1, 1, 1)，第二、三行化成零行，r(A)= 1。
- a=−2：第三行为零，第二行是 (0, −3, 3) 非零，r(A)= 2；原矩阵三行相加恰好为零向量，可作验证。
- a≠1 且 a≠−2：三个主元都非零，r(A)= 3。
常见错误对照
| 错误 | 后果 | 改法 |
|---|---|---|
| 没化到阶梯形就数非零行 | 两行成比例却各算一行，秩数大了 | 按两条标准检查后再数 |
| 用 a−1 去除某一行 | a=1 时这一步是除以 0，不成立，会漏掉 a=1 的情况 | 先因式分解，含参数的主元留到最后讨论 |
| 同一步里两行互相加减 | 实际做了一次不可逆的变换 | 每步只让一行变化，写清 r₂−2r₁ |
| 把主元位置当成秩 | 例 1 主元在第 3 列，秩仍是 2 | 秩只看非零行的个数 |
同一套行变换也是求逆矩阵的工具：把单位阵拼在右边一起变，左边化成单位阵时右边就是逆矩阵。
在编辑器里记下每一步变换
行变换的草稿最怕回头查时分不清哪一步做了什么。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，矩阵用 pmatrix，元素之间用 &、行末用 \\；每一步变换写在箭头上方，两步同时做时用 \xrightarrow[r_3+r_1]{r_2-2r_1} 把第二个操作放到箭头下方。
录完切到「可视化」模式，按行对照草稿里的数字；矩阵行列对齐的更多写法见 矩阵书写。
先录例 3 的讨论：化简后的矩阵一行，三种情况用 cases 环境各占一行，核对后从「导出」选「导出 LaTeX (.tex)」，把源码存进课程笔记；这项导出要登录并开通本站会员。
延伸阅读
常见问题
- 列变换也能用来求秩吗？
- 能。初等列变换同样不改变矩阵的秩，行列混用、只用列变换，数出来的秩都一样。但同一张阶梯形如果还要拿来解方程组、求逆矩阵或写基础解系，就只能用行变换，因为列变换会打乱未知量的顺序。习惯上求秩也只用行变换，一张草稿能接着做后面几问。