向量组的秩：与矩阵秩的关系和求法

向量组的秩，就是这组向量里极大线性无关组所含向量的个数；求法是把向量排成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，数非零行，这个数既是矩阵的秩，也是向量组的秩。按列排还是按行排都行，因为矩阵的行秩等于列秩。秩 r 与向量个数 m 一比，线性相关性也就判定了：r=m 无关，r<m 相关。本站与 Wolfram 无关联，也不提供计算功能，编辑器只负责把推导过程排版记录下来。

三秩相等与速查表

一个 s 行 k 列的矩阵 A 同时带着两组向量：s 个行向量、k 个列向量。全体行向量的秩叫行秩，全体列向量的秩叫列秩，矩阵的秩按定义是最高阶非零子式的阶数。三个数永远相等，这是线性代数里的一个定理。

它带来两个直接好处。一是求这组向量的秩可以借用矩阵的全部工具：初等变换、子式、行列式。二是向量怎么摆都行：习惯按列排的按列排，按行排也得到同一个数，只是要读出「哪几个向量构成极大无关组」时，按列排、只做行变换更方便。

秩与线性相关的对应关系见下表，m 是向量个数，n 是每个向量的维数，r 是秩：

表里「组 I 能由组 II 线性表示」那一行，是证明矩阵秩不等式的常用工具。AB 的每一列都是 A 的各列按 B 那一列的元素做的线性组合，所以 AB 的列向量能由 A 的列向量线性表示，r(AB)≤r(A)；按行看同理得 r(AB)≤r(B)。A+B 的每一列是 A、B 对应两列之和，能由两组列向量合起来表示，于是 r(A+B)≤r(A)+r(B)。两条结论写成：

r(AB)\le\min\{r(A),\,r(B)\},\qquad r(A+B)\le r(A)+r(B)

例 1：三个四维向量，按列、按行各求一次

题目：α₁=(1, 2, 0, 1)ᵀ，α₂=(2, 1, 3, 0)ᵀ，α₃=(0, 3, −3, 2)ᵀ，求秩并判断线性相关性。

按列排：矩阵四行是 (1, 2, 0)、(2, 1, 3)、(0, 3, −3)、(1, 0, 2)。

1. 第二行减第一行的 2 倍，得 (0, −3, 3)；第四行减第一行，得 (0, −2, 2)；
2. 第二行除以 −3，得 (0, 1, −1)；
3. 第三行减第二行的 3 倍、第四行加第二行的 2 倍，两行都成为零行。

非零行剩 2 行，秩为 2，小于向量个数 3，所以线性相关。

按行排：把三个向量作为三行，(1, 2, 0, 1)、(2, 1, 3, 0)、(0, 3, −3, 2)。第二行减第一行的 2 倍得 (0, −3, 3, −2)，第三行加上它恰好成为零行，非零行同样是 2 行。一个 4×3、一个 3×4，秩都是 2，行秩等于列秩在这里看得很清楚。

写出相关关系：秩为 2 说明有一个向量多余。对照数字可以看出 α₃=2α₁−α₂，代回：2(1, 2, 0, 1)−(2, 1, 3, 0)=(0, 3, −3, 2)，正好是 α₃。

例 2：含参数时用行列式分情况

题目：α₁=(1, 1, 1)ᵀ，α₂=(1, 2, 3)ᵀ，α₃=(1, 3, t)ᵀ，t 取何值时线性相关？

三个三维向量正好排成方阵，用速查表 m=n 那一行，直接算行列式。按第一行展开：1×(2t−9)−1×(t−3)+1×(3−2)=t−5。

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=t-5

• t=5 时行列式为 0，秩小于 3，线性相关；此时前两个向量不成比例，秩为 2；
• t≠5 时行列式不为 0，秩为 3，线性无关。

代回核对 t=5：α₃=(1, 3, 5)ᵀ，而 2α₂−α₁=(2−1, 4−1, 6−1)=(1, 3, 5)，确实能被前两个向量表示。

常见错误

• 把非零向量个数当成秩：例 1 三个向量都不是零向量，秩却是 2。秩要化成阶梯形后数非零行。
• 没化到阶梯形就数行：中途某一行还不为零，不代表化完以后也不为零，例 1 的第三、四行就是最后一步才消成零行的。
• 不是方阵也去算行列式：例 1 的矩阵是 4×3，没有行列式；m≠n 时只能化阶梯形或找最高阶非零子式。
• 以为行秩、列秩可能不同：两者永远相等，按行排、按列排结果一样，出现不同一定是某一步算错了。

例 2 的行列式展开和两种情况，可以原样录成三行：行列式一行、t=5 一行、t≠5 一行，写作业时分情况讨论一目了然。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法，矩阵与行列式的括号、对齐怎么写
• 公式编辑工具横向对比：在线公式编辑、桌面公式软件与 Office 自带公式的横向对比
• 公式编辑教程：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的文章列表