拉格朗日乘数法：条件极值的4步解法与例题

拉格朗日乘数法用来求函数 f(x, y) 在约束 φ(x, y)=0 下的极值，固定四步：构造 L=f+λφ；对每个自变量求偏导并令其为零；把这些方程与约束方程联立，解出候选点；把各候选点的函数值拿来比较，大的是最大值、小的是最小值。第三步最常见的漏洞是忘了把约束方程放进方程组，第四步最常见的漏洞是解出候选点就停下、没有比较。下面三道例题依次是圆上的线性函数、长方体体积、椭圆上的乘积。

四步写法速查

以二元函数、一个约束为例，每一步写出来的东西如下：

1. 构造：L(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y)，φ 要先移项成「=0」的形式。
2. 求偏导：L_x=f_x+λφ_x=0，L_y=f_y+λφ_y=0。
3. 联立：上面两个方程加上 φ(x, y)=0，三个方程解 x、y、λ 三个未知量。
4. 比较：把所有候选点代入 f，按大小定最大值、最小值；实际问题里只有一个候选点、且按实际意义最值确实存在时，它就是所求。

λ 前面写加号还是减号都可以，只影响 λ 的符号，候选点完全相同。解方程组时常用的技巧是先消去 λ：从两个偏导方程各解出 λ，令二者相等。

这个方法的几何含义是：在条件极值点上，目标函数的梯度 ∇f 与约束曲线的法向量 ∇φ 平行（前提是 ∇φ≠0），比例系数就是 λ（差一个负号）。f 的等值线恰好与约束曲线相切，沿约束移动时 f 在这一点暂时不增也不减。

三道例题逐步写

例 1：求 f=x+y 在圆 x²+y²=2 上的最大值和最小值。

构造 L=x+y+λ(x²+y²−2)。求偏导：1+2λx=0，1+2λy=0。两式都解出 λ，得 −1/(2x)=−1/(2y)，所以 x=y。代入约束：2x²=2，x=±1。候选点 (1, 1) 和 (−1, −1)。

比较：f(1, 1)=2，f(−1, −1)=−2，最大值 2，最小值 −2。用参数 x=√2cos t、y=√2sin t 验算，x+y=2sin(t+π/4)，范围正是 [−2, 2]。

例 2（长方体体积）：表面积为 24 的长方体，长宽高各取多少时体积最大？

设长宽高为 x、y、z（都大于 0），约束 2(xy+yz+zx)=24，即 xy+yz+zx=12。构造 L=xyz+λ(xy+yz+zx−12)。

求偏导：

• L_x=yz+λ(y+z)=0
• L_y=xz+λ(x+z)=0
• L_z=xy+λ(x+y)=0

三式依次乘 x、y、z，左边都出现 xyz，于是 λx(y+z)=λy(x+z)=λz(x+y)。λ≠0（否则 yz=0），展开前两个得 xz=yz，所以 x=y；同理 y=z。代入约束 3x²=12，x=2。长宽高都是 2 时体积最大，最大体积 8，此时是正方体，表面积 6×4=24，核对无误。

例 3：求 f=xy 在椭圆 x²+4y²=4 上的最大值。

构造 L=xy+λ(x²+4y²−4)。求偏导：y+2λx=0，x+8λy=0。由第一式 λ=−y/(2x)，代入第二式得 x−4y²/x=0，即 x²=4y²。这里除以 x 之前先检查 x=0：此时第一式给出 y=0，而 (0, 0) 不在椭圆上，可以排除。

代入约束：4y²+4y²=4，y²=1/2，x²=2。xy 取正时 x=√2、y=√2/2 或两者都取负，f=1；xy 取负时 f=−1。所以最大值 1，最小值 −1。参数验算：x=2cos t，y=sin t，xy=sin 2t，范围 [−1, 1]。

常见错误对照

条件极值是多元函数极值的一部分，偏导、全微分与无条件极值的判别方法见 多元函数微分学。

把方程组录成可复查的推导

例 2 这种三个偏导方程加一个约束的方程组，手写时最容易抄错下标。打开公式编辑页点「LaTeX」，用 cases 环境把四个方程排在一个大括号里：

\begin{cases}
yz+\lambda(y+z)=0 \\
xz+\lambda(x+z)=0 \\
xy+\lambda(x+y)=0 \\
xy+yz+zx=12
\end{cases}
\;\Rightarrow\; x=y=z=2,\quad V_{\max}=8

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延伸阅读

• 多元函数微分学：偏导、全微分、方向导数与两类极值
• 偏导符号：偏导记号的适用条件与写法
• 逻辑与符号：多个约束同时成立时怎么读写