多元函数微分学：偏导、全微分与极值一篇理清

多元函数微分学可以归成五块：偏导数是基础，全微分建立在偏导之上，复合函数求导（链式法则）和方向导数都要用到偏导与梯度，极值问题再分成无条件极值和条件极值两种。五块之间的逻辑是一条链：会求偏导，才能写全微分、算梯度、找驻点；可微是全微分和方向导数公式成立的前提。下面先画出这条关系链，再按五块各给一道能逐步验算的例题。

五块内容的关系

先把几个概念的推出关系理顺，后面的题才知道每一步凭什么成立：

• 偏导数在某点附近连续 ⇒ 函数在该点可微；
• 可微 ⇒ 两个偏导数存在，且函数在该点连续；
• 可微 ⇒ 全微分 dz=z_x dx+z_y dy 成立，任意方向的方向导数都等于梯度与单位方向的点积；
• 驻点（z_x=z_y=0）是可微函数取极值的必要条件，再用二阶偏导判别；
• 条件极值用拉格朗日函数，把约束并进去，归结为求驻点。

反方向都推不出来：偏导数存在推不出连续，更推不出可微。FAQ 里给了一个具体的反例。

「可微」本身的定义也要记准：全增量能写成 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中 ρ=√(Δx²+Δy²)，这时 A、B 恰好就是两个偏导数。判断可微时，就是检验 Δz−(z_x Δx+z_y Δy) 除以 ρ 是否趋于 0，这一步在考研真题里常以分段函数的形式出现。

偏导数、全微分与链式法则例题

例 1（偏导数）：z=x²y+e^(xy)。

对 x 求偏导时把 y 当常数：z_x=2xy+ye^(xy)。对 y 求偏导时把 x 当常数：z_y=x²+xe^(xy)。e^(xy) 对 x 求偏导要乘内层 xy 对 x 的偏导 y，这一步最容易漏。

例 2（全微分与近似）：z=x²y³，求在 (1, 2) 处的全微分，并估计 x 从 1 变到 1.01、y 从 2 变到 1.99 时 z 的改变量。

z_x=2xy³，z_y=3x²y²，在 (1, 2) 处分别为 16 和 12，所以 dz=16dx+12dy。代入 dx=0.01、dy=−0.01，得 dz=0.16−0.12=0.04。

核对：1.01²×1.99³=1.0201×7.880599≈8.0390，实际改变量约 0.039，与估计值接近。

例 3（链式法则）：z=u²v，u=x+y，v=xy，求 z_x。

z_x=z_u·u_x+z_v·v_x=2uv·1+u²·y=2(x+y)xy+(x+y)²y。

直接代入验算：z=(x+y)²xy，对 x 用乘积法则求偏导，结果相同。

方向导数与两类极值例题

例 4（方向导数）：f(x, y)=x²y，求在点 (1, 2) 处沿 l=(3, 4) 方向的方向导数。

梯度 ∇f=(2xy, x²)，在 (1, 2) 处为 (4, 1)。单位方向 e_l=(3/5, 4/5)。方向导数 =4×3/5+1×4/5=16/5。方向导数的最大值出现在梯度方向，等于 |∇f|=√17。

例 5（无条件极值）：f(x, y)=x³−3x+y²−2y。

驻点：f_x=3x²−3=0 得 x=±1，f_y=2y−2=0 得 y=1，驻点为 (1, 1) 和 (−1, 1)。二阶偏导 A=f_xx=6x，B=f_xy=0，C=f_yy=2。

• 在 (1, 1)：AC−B²=12>0 且 A>0，是极小值点，极小值 f=1−3+1−2=−3。
• 在 (−1, 1)：AC−B²=−12<0，不是极值点（鞍点）。

例 6（条件极值）：求 f=x²+y² 在直线 x+2y=5 上的最小值。

设 L=x²+y²+λ(x+2y−5)，令 L_x=2x+λ=0，L_y=2y+2λ=0，得 y=2x。代入约束 x+4x=5，x=1、y=2，最小值 f=5。

几何上它是原点到直线距离的平方，距离 |−5|/√5=√5，平方为 5，两种算法一致。条件极值的四步写法和长方体体积这类应用题，单独整理在 拉格朗日乘数法 里。

常见错误与记录习惯

1. 偏导时变量没当常数：对 x 求偏导时把 y² 也求成 2y。
2. 全微分只写一项：dz 漏掉 dy 那一项。
3. 方向没单位化：例 4 直接用 (3, 4) 点乘梯度，得 16，是正确值的 5 倍。
4. 只找驻点不判别：例 5 把 (−1, 1) 也当成极值点。

五块内容的例题写在同一份笔记里，最方便前后对照。打开公式编辑页点「LaTeX」，用 aligned 环境按步骤记，偏导符号可以直接写 \partial，例 5 的判别过程如下：

\begin{aligned}
f_{x} &= 3x^{2}-3=0,\quad f_{y}=2y-2=0 \\
A &= 6x,\quad B=0,\quad C=2 \\
(1,1)&:\ AC-B^{2}=12>0,\ A>0,\ \text{极小值 } f=-3 \\
(-1,1)&:\ AC-B^{2}=-12<0,\ \text{鞍点}
\end{aligned}

推导每一步由你自己完成，编辑器只负责把它排整齐。整理完后从「导出」选「导出 LaTeX (.tex)」，就能把这份源码并进期末复习文档；导出要登录并开通本站会员。偏导记号的读写区别可以参考 偏导符号。

延伸阅读

• 拉格朗日乘数法：条件极值的四步解法与三道例题
• 偏导符号：偏导记号的适用条件与写法
• 偏微分符号：偏微分与普通导数的差别