考研特征值与特征向量：数值与抽象矩阵两类题
更新于
考研特征值与特征向量的题分两类：数值矩阵题给出具体元素（常带一两个参数），靠特征方程和解齐次方程组；抽象矩阵题不给元素，只给关系式或已知特征值，靠一张结论表往下推。数学一这部分常见三种题型：用特征向量反求参数、由特征值求矩阵多项式的行列式、秩为 1 的矩阵。下面先给结论表，再各配一道完整解析，数值题附上用迹和行列式核对的写法。
常用结论表
设 A 是 n 阶矩阵，λ 是它的特征值，α 是对应的特征向量。表中的 f 可以是任何多项式，比如 A²−2A+3E 的特征值就是 λ²−2λ+3。抽象题几乎都是先用这张表把矩阵的特征值写出来，再用「积等于行列式」收尾，例 2 就是这个套路。前四行是抽象题的主力，后三行多用在数值题的核对和反求。
| 已知 | 结论 | 特征向量 |
|---|---|---|
| f(A)，f 为多项式 | 特征值为 f(λ) | 仍是 α |
| A 可逆，A⁻¹ | 特征值为 1/λ | 仍是 α |
| 伴随矩阵 A* | 特征值为 |A|/λ（A 可逆时） | 仍是 α |
| A 满足 g(A)=O | λ 满足 g(λ)=0 | — |
| 秩为 1 的 A=αβᵀ | 特征值 βᵀα 与 n−1 个 0 | βᵀα 对应 α |
| 全体特征值 | 和等于迹，积等于 |A| | — |
| Aᵀ、P⁻¹AP | 特征值与 A 相同 | P⁻¹AP 的是 P⁻¹α |
结论表里「特征向量仍是 α」只对前三行成立；Aᵀ 的特征向量一般不同，这一点常被拿来出判断题。
例 1：数值矩阵，由特征向量反求参数
题目 A 的三行是 (2, a, −1)、(3, 1, b)、(0, 2, 1)，已知 ξ=(1, −1, 1)ᵀ 是 A 的特征向量，求 a、b 和 A 的全部特征值。
第 1 步：按定义列方程。Aξ=λξ 的三个分量分别是 2−a−1=λ、3−1+b=−λ、0−2+1=λ。第三式直接给出 λ=−1，代回得 a=2、b=−1。
第 2 步：用迹和行列式求另外两个特征值。迹是 2+1+1=4，|A| 按第一行展开为 2×3−2×3+(−1)×6=−6。设另两个特征值为 λ₂、λ₃，则 λ₂+λ₃=4−(−1)=5，λ₂λ₃=−6÷(−1)=6，所以是 2 和 3。
第 3 步：求特征向量。λ=2 时解 (2E−A)x=0 得 (1, 1, 2)ᵀ，λ=3 时得 (1, 1, 1)ᵀ。核对：A(1, 1, 2)ᵀ=(2, 2, 4)ᵀ，正好是 2 倍。
这一题不用展开三次特征多项式，是迹和行列式的典型用法：已知一个特征值，剩下两个由「和」与「积」组成二次方程。
例 2：抽象矩阵，求矩阵多项式的行列式
题目 三阶矩阵 A 的特征值为 1、−1、2，求 |A*+3A−2E|。
第 1 步：|A|=1×(−1)×2=−2，A 可逆，A* 的特征值是 |A|/λ，即 −2、2、−1。
第 2 步：A*+3A−2E 是关于 A 的「函数」，对应的特征值是 μ=−2/λ+3λ−2。λ=1 时 μ=−1，λ=−1 时 μ=−3，λ=2 时 μ=3。
第 3 步：行列式等于三个 μ 的乘积，(−1)×(−3)×3=9。
关键是先把 A* 换成 |A|A⁻¹，整个式子才变成只含 A 的表达式；A* 与 A 共用特征向量，所以三个 μ 可以按同一个 λ 配对相乘。
例 3：秩为 1 的矩阵
题目 α=(1, −1, 2)ᵀ，β=(2, 1, 1)ᵀ，A=αβᵀ，求 A 的特征值、|A+E| 和 A⁵。
A 的每一行都是 βᵀ 的倍数，秩为 1。βᵀα=2−1+2=3 是一个数（内积的记法见 点乘符号），于是 Aα=α(βᵀα)=3α，3 是特征值、α 是特征向量；另外两个特征值是 0，对应方程 βᵀx=0 的两个线性无关解。
A+E 的特征值是 4、1、1，|A+E|=4。A²=α(βᵀα)βᵀ=3A，依次推下去 A⁵=3⁴A=81A，第一行是 (162, 81, 81)。
三处常见失分
- 例 1 直接展开三次特征多项式：带着参数算容易出错，先用定义解出参数、再用迹与行列式，计算量小得多。
- 把 A 的特征值写成 λ/|A|*：分子分母写反，例 2 会得到 −1/2、1/2、−1。
- 秩为 1 时漏掉零特征值的重数：三阶的 αβᵀ 有两个零特征值，|A+E| 里要乘上两次 1。
结论表和三道例题可以录成一份讲义，λ、α、β 这些希腊字母在本站公式编辑页输 \lambda、\alpha、\beta 加空格就出来。例 3 的推导可以这样写：
A\alpha=\alpha\left(\beta^{T}\alpha\right)=3\alpha,\qquad A^{2}=\alpha\left(\beta^{T}\alpha\right)\beta^{T}=3A,\qquad A^{5}=3^{4}A
抽象题难在认出它属于结论表的哪一行：看到 A*，先换成 |A|A⁻¹；看到秩为 1，先写成 αβᵀ；看到矩阵满足某个多项式等式，特征值就满足同一个等式。
延伸阅读
常见问题
- 抽象矩阵的特征值怎么求？
- 抽象矩阵没有具体元素，只能从定义和已知关系出发。题目给出矩阵满足的多项式等式时，特征值必须满足同一个等式；给出特征值时，矩阵多项式、逆矩阵、伴随矩阵的特征值按同一个函数变过去；矩阵秩为一时写成列向量乘行向量，非零特征值等于两个向量的内积。求出特征值以后，行列式用它们的乘积，迹用它们的和。