点乘符号：向量运算的含义

点乘符号写在两个向量之间时，计算结果通常是一个数，而不是又一个带方向的向量。读笔记时如果只认出中间的小圆点，却没看两边字母是否带箭头，就容易把它当成普通相乘。先辨认对象类型，再看分量与结果，能把这条运算读完整。

从结果是标量开始辨认

在通常的实数欧氏向量讨论中，点积把两个同维向量联系起来，并给出标量。这个数可以为正、为负，也可以为零。结果没有向量箭头，因此抄写计算结果时，不能因前面两项是向量，就顺手给答案也加上箭头。

向量记法在不同材料中可能用粗体，也可能用顶上的箭头。同一份笔记应选定一种方式，并在第一次出现时交代。若原文用粗体区分向量与标量，转成普通文本后字重丢失，就要补回对象说明，否则中间的点难以单独承担全部含义。

圆点也可用于数的乘法，所以不能看到点就判为点积。先找变量定义：两边若只是实数，按普通乘法读；若是向量，继续检查所在章节采用的内积约定。不要把某个领域的记法直接搬到另一种对象上。

按分量配对，而非全部互乘

做二维的检查示例时，先把两向量分量按同一坐标顺序写出，再把第一分量与第一分量相乘、第二分量与第二分量相乘，最后相加。不是让每个分量与另一边所有分量都相乘，也不是只把结果并排放回括号。

以坐标为二、一和三、负一的两个向量为例，对应乘积是六与负一，相加得到五。这个例子用于确认操作对象和次序；若你的笔记得到了两个数组成的坐标，就应检查是否把点积误做成了逐分量相乘。

使用长度与夹角来表达时，还要确认讨论的是非零向量，夹角才有通常的定义。对非零实向量，点积为零可用于判断正交；零向量与任何向量的点积也是零，不能据此说它与任意方向都有一个直角。附带条件必须跟着结论记录。

把对应关系写在式子里

可以用下面的通用形式整理分量计算。先声明坐标基是通常的标准正交基，再让每个下标一一对应。

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2

中间的圆点使用 \cdot，粗体可由 \mathbf 表示。本站 LaTeX 模式能用于编辑这些命令，预览模式则便于核对字重与下标。不要把小数点打在两字母之间，也不要把下标拆成普通正文数字，避免读者误解为另一个变量名。

检查讲义中的类型是否连续

完成后沿着等号链看一遍：左边是点积，右边是分量乘积的和，最后是标量。若中途出现向量加法或一个未经说明的坐标对，就需要回查推导。长式子还应逐项核对正负号，负分量容易在抄写时漏掉括号。

想把定义、例子和解释排在一起，可将公式插入本站文档工作区，向量的含义另写在正文。登录后可保存文档，导出到外部文件则需要会员。整理出来的页面应让读者明确“点连接什么、得到什么”，而不只是在字母间添一枚小点。

延伸阅读

• WolframAlpha：阅读数学结果到规范记录之间的衔接。
• 叉乘符号：对照另一种向量运算的方向与结果。