初等行变换求逆矩阵：增广矩阵(A,E)到(E,A⁻¹)的例题

初等行变换求逆矩阵的做法是：把 n 阶方阵 A 和同阶单位阵 E 左右拼成 n×2n 的矩阵 (A, E)，只用行变换把左半边化成 E，这时右半边就是 A⁻¹。原理是每做一次行变换，相当于在左边乘一个初等矩阵，这些初等矩阵的乘积 P 满足 PA=E，所以 P=A⁻¹，而右半边记录的正是 PE=P。下面用一道 3 阶矩阵完整走一遍，再给一道简短例题和一道不可逆例子，最后对照混用列变换的错误。

行变换求逆的五步顺序

对 3 阶矩阵，按「先下后上」的顺序做，最不容易乱：

1. 拼矩阵：写出 (A, E)，中间画一条竖线分开左右两半。
2. 定第一列：把第一列首元调成 1（交换行或整行除以常数），再消去它下面的元素。
3. 定第二、三列：依次消去主对角线元素下面的元素，左半边成为上三角；主元化成 1 可留到回代再做。
4. 自下而上回代：用第三行消去第三列上方的元素，再用第二行消去第二列上方的元素。
5. 读结果并验算：左半边成为 E 后读出右半边，再算一次 A 乘 A⁻¹，得到 E 才算完。

每一步都是整行一起变，竖线两侧同时参与运算。回代阶段最容易只改左半边、忘了改右半边，写时把一整行六个数一起抄下来，竖线也要保留，否则分不清哪几列属于 A，回代时也容易把右半边的数字当成左半边的。

3 阶矩阵完整例题

例 1：A 的三行依次是 (2, 1, 0)、(1, 1, 1)、(0, 1, 3)，用行变换求 A⁻¹。

第一行首元是 2，与第二行交换，让首元为 1；再用第二行减去第一行的 2 倍，两步合写在一个箭头上，见下方公式图。

第三行加上第二行，得到 (0, 0, 1 ｜ 1, −2, 1)，左半边已是上三角。开始回代：第二行加上第三行的 2 倍得 (0, −1, 0 ｜ 3, −6, 2)，整行乘 −1 得 (0, 1, 0 ｜ −3, 6, −2)。

第一行先减第三行得 (1, 1, 0 ｜ −1, 3, −1)，再减第二行得 (1, 0, 0 ｜ 2, −3, 1)。左半边成为单位阵，右半边三行依次是 (2, −3, 1)、(−3, 6, −2)、(1, −2, 1)，即 A⁻¹。

验算 AA⁻¹ 的第一行：(2, 1, 0) 分别与 A⁻¹ 的三列相乘，得 4−3=1、−6+6=0、2−2=0，正好是 (1, 0, 0)；另两行同理得到 (0, 1, 0) 与 (0, 0, 1)。A 是对称矩阵，它的逆也对称，可作第二重检查。

例 2：A 的三行是 (1, 2, 0)、(0, 1, 1)、(1, 2, 1)。第三行减第一行，得到 (0, 0, 1 ｜ −1, 0, 1)；第二行减第三行得 (0, 1, 0 ｜ 1, 1, −1)；第一行减去第二行的 2 倍得 (1, 0, 0 ｜ −1, −2, 2)。所以 A⁻¹ 的三行是 (−1, −2, 2)、(1, 1, −1)、(−1, 0, 1)，验算第三行 (1, 2, 1) 乘 A⁻¹ 第三列：2−2+1= 1。

不可逆的情形与混用列变换的错误

例 3：A 的三行是 (1, 2, −1)、(2, 3, 1)、(3, 5, 0)。第二行减第一行的 2 倍、第三行减第一行的 3 倍，都得到 (0, −1, 3)；再相减，左半边出现一整行零：(0, 0, 0 ｜ −1, −1, 1)。到这里即可下结论，A 不可逆。回头看原矩阵，第三行正好等于前两行之和，秩只有 2，与判断一致。

另一类错误是在 (A, E) 上顺手做了一次列变换，比如为了让首元为 1，把左半边第一、二列对调。列变换相当于在 A 的右边乘初等矩阵 Q，而右半边的 E 没有记下这个 Q：左半边化成 E 时 PAQ=E，右半边读出的 P 实为 Q⁻¹A⁻¹。对调两列时，它就是把 A⁻¹ 的第一、二行对调后的样子，看起来像答案，其实是错的。

做法	右半边记录的是	能否读出 A⁻¹
全程只用行变换	左乘的初等矩阵之积 P，P=A⁻¹	能
中途混入一次列变换	行变换之积，列变换没被记录	读不出
全程只用列变换，E 拼在 A 的下方	右乘的初等矩阵之积	能（下半边是 A⁻¹）

最后一行是列变换的正确用法：竖着拼、只做列变换，下半边就是 A⁻¹。A⁻¹ 这类带上标的记号怎么口述，可查 数学符号读法大全。

把增广矩阵录成可核对的推导

(A, E) 中间那条竖线，在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」后用 array 环境写出：列格式写成 {ccc|ccc}，外面套 \left( 和 \right)。每一步变换标在箭头上方，两步合写时第二步放在箭头下方，与例 1 的写法一样。

检查时把 LaTeX 源码和草稿并排：每行先数 & 是否正好五个，再在「可视化」模式里看竖线两侧各三个数，更多矩阵排版方法见 矩阵书写。

照着例 1 录一遍：拼矩阵、三步消元、两步回代各占一行，最后一行写出 A⁻¹ 与验算式，核对后从「导出」选「PNG 图片」，竖线照原样保留；「Word（含公式）」导出的原生公式里这条竖线不会保留。导出需登录并开通本站会员。

延伸阅读

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