伴随矩阵法与初等变换法：求逆矩阵怎么选

伴随矩阵法与初等变换法都能求出逆矩阵，结果必然相同，差别在工作量的分布和容易出错的地方。伴随矩阵法按公式 A⁻¹=A*/|A| 计算，三阶矩阵要算 1 个三阶行列式和 9 个二阶代数余子式；初等变换法把 (A, E) 只用行变换化成 (E, A⁻¹)，三阶矩阵一般要 6 次左右的整行运算。按阶数选：二阶用伴随矩阵的口诀，四阶及以上用初等变换，三阶两种都常用，看题目要的是整个逆矩阵还是其中一个元素。

同一个三阶矩阵的两种做法对照

下面用同一个矩阵 A 走两遍，A 的三行是 (1, 1, 0)、(2, 1, 2)、(1, 0, 3)。先看对照表，两种方法的步骤量、容易出错的地方和各自顺带得到的信息都列在里面，数字取自后面两节的实际计算。两种方法算完，都可以再用 AA⁻¹=E 验算一次，只乘一行也能发现大部分错误。代数余子式的正负号按下图的棋盘格排列，左上角为正，相邻格子正负交替。

伴随矩阵法：先算行列式，再算九个余子式

第 1 步 按第一行展开，|A|=1×(3−0)−1×(6−2)+0=−1，不为零，A 可逆。

第 2 步 逐个算代数余子式 Aᵢⱼ=(−1)^(i+j)·Mᵢⱼ。第一行三个：A₁₁=3，A₁₂=−(6−2)=−4，A₁₃=0−1=−1；第二行：A₂₁=−3，A₂₂=3，A₂₃=1；第三行：A₃₁=2，A₃₂=−2，A₃₃=−1。

第 3 步 转置后得到伴随矩阵，第 i 行第 j 列放 Aⱼᵢ，所以 A* 的第一行是 (3, −3, 2)，而不是 (3, −4, −1)。再除以 |A|=−1，也就是整体变号：

这一路上有三处要留神：余子式的 (−1)^(i+j)、转置不变号但换位置、除以负的行列式。三处叠在一起，是伴随矩阵法最容易算错的地方。

初等变换法：六次整行运算

把 A 与三阶单位阵拼成 (A, E)，只做行变换：

1. 第二行减第一行的 2 倍、第三行减第一行，得 (0, −1, 2 ｜ −2, 1, 0) 与 (0, −1, 3 ｜ −1, 0, 1)；
2. 第三行减第二行，得 (0, 0, 1 ｜ 1, −1, 1)，左半边成为上三角；
3. 第二行减第三行的 2 倍，再整行乘 −1，得 (0, 1, 0 ｜ 4, −3, 2)；
4. 第一行减第二行，得 (1, 0, 0 ｜ −3, 3, −2)。

右半边三行 (−3, 3, −2)、(4, −3, 2)、(1, −1, 1) 就是 A⁻¹，与伴随矩阵法的结果一致。验算 A 的第一行乘 A⁻¹ 的第一列：−3+4+0=1。

这条路没有符号公式要记，风险在誊写：每次运算要改六个数，左半边改了、右半边漏改，结果就错。整行抄写、竖线保留，是这种方法的基本功；3×6 矩阵的行列怎么对齐，见 矩阵书写。

按阶数和题型选

• 二阶：伴随矩阵法的口诀（主对角互换、副对角变号、除以行列式）一步写出，见下图；
• 三阶、只要某一个元素：比如只问 A⁻¹ 第 2 行第 3 列，用伴随矩阵法只算一个余子式 A₃₂=−2，再除以 |A| 得 2，初等变换法得整个化完；
• 三阶、要整个逆矩阵：两种都常用，习惯算行列式的用伴随矩阵法，习惯消元的用初等变换法；
• 含参数、证明题：伴随矩阵法的公式 AA*=|A|E 能直接参与推导；
• 四阶及以上：代数余子式是 16 个三阶行列式，一般改用初等变换法。

两种方法的中间过程都是矩阵，排版时分清 pmatrix（圆括号）和 vmatrix（行列式竖线）。在本站公式编辑页点「LaTeX」，(A, E) 中间的竖线用 array 的列格式 {ccc|ccc} 写，改数字就能录你自己的题：

\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\2&1&2&0&1&0\\1&0&3&0&0&1\end{array}\right)

同一题两种方法各录一遍，结果并排放着，本身就是一次验算；对不上时，先查伴随矩阵那一侧的转置有没有做。

延伸阅读

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