隐函数求导方法：两边对x求导的步骤与例题

隐函数求导方法只有一个核心动作：把 y 看作 x 的函数 y(x)，方程两边同时对 x 求导，凡是对含 y 的项求导都按链式法则多乘一个 y′，最后把含 y′ 的项移到一边解出 y′。这样得到的导数里一般同时有 x 和 y，求某一点的导数时要把这点的两个坐标都代进去。求二阶导数时，对 y′ 的表达式再求一次导，出现的 y′ 用第一步的结果代回。

四步走的顺序

把方程写成 F(x, y)=0 的样子，然后按下面四步走，每一步都能单独检查：

1. 标记：在草稿上把 y 写成 y(x)，提醒自己它随 x 变化。
2. 求导：两边对 x 求导。x² 的导数是 2x；y² 的导数是 2y·y′；xy 用乘积法则得 y+xy′；eʸ 的导数是 eʸ·y′。
3. 移项：把所有含 y′ 的项放到等号左边，其余移到右边，左边提出公因子 y′。
4. 解出：两边除以 y′ 的系数，得到 y′ 的表达式；要求某点的值，就代入这一点的 x 和 y。

第 2 步是整个过程里真正要动脑的地方。判断标准只有一条：求导对象里只要出现 y，就一定跟着一个 y′；只含 x 的项照常求导即可。

这个做法成立的前提是方程在所讨论的点附近确实确定了一个可导的函数 y(x)。课本里的隐函数存在定理给出的条件是 F 的偏导数连续、且对 y 的偏导数在该点不为零；做题时一般默认满足，但在曲线的竖直切线处（例如圆的最左、最右两点），y′ 的分母恰好为零，这时导数不存在。

三道例题逐步写

例 1：x²+xy+y²=7，求 y′ 及在点 (1, 2) 处的值。

先核对点在曲线上：1+2+4=7，成立。两边对 x 求导：

2x+(y+xy′)+2y·y′=0

含 y′ 的项放左边：(x+2y)y′=−(2x+y)，所以 y′=−(2x+y)/(x+2y)。代入 x=1、y=2，得 y′=−4/5。

例 2：y=1+xeʸ，求 y′ 及 x=0 处的值。

两边对 x 求导，右边 xeʸ 用乘积法则，eʸ 的导数带 y′：y′=eʸ+xeʸ·y′。移项得 (1−xeʸ)y′=eʸ，所以

y′=eʸ/(1−xeʸ)

x=0 时由原方程得 y=1，代入得 y′=e。这道题的 y 不能用初等函数显式表示，只能用隐函数的办法处理。

例 3（二阶导数）：x²+4y²=8，求 y″ 及在点 (2, 1) 处的值。

第一步照常求 y′：2x+8y·y′=0，得 y′=−x/(4y)。在 (2, 1) 处 y′=−1/2。

第二步对 y′=−x/(4y) 再对 x 求导，分母里的 y 仍是 x 的函数，用商的法则：

y″=−(4y−4x·y′)/(16y²)=−(y−x·y′)/(4y²)

把 y′=−x/(4y) 代进去，分子化成 y+x²/(4y)=(4y²+x²)/(4y)，于是 y″=−(x²+4y²)/(16y³)。分子恰好是原方程左边，等于 8，最后得到 y″=−1/(2y³)，在 (2, 1) 处 y″=−1/2。

这一步可以用显式验算：上半支 y=√(2−x²/4)，直接求两阶导再代 x=2，y′=−1/2、y″=−1/2，与隐函数的结果一致。

漏乘 y′ 与其他常见错误

最常见的错误是对 y 的项求导时漏乘 y′。例 1 里把 y² 的导数写成 2y，方程变成 2x+y+xy′+2y=0，解出 y′=−(2x+3y)/x，在 (1, 2) 处等于 −8，与正确结果 −4/5 相差很远。

另外三处也值得对照检查：

• 乘积项只求一半：xy 的导数写成 xy′，丢了 y 这一项。
• 二阶导数里 y 当常数：对 −x/(4y) 求导时，分母的 y 也要求导，漏掉它 y″ 就只剩 −1/(4y)。
• 代点前没核对：把一个不在曲线上的点代进 y′，算出的数没有意义。

把三道题排成一页推导

多行推导最适合一步一行地记下来。打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 环境在等号前放 & 对齐，例 3 的第二步可以这样录：

\begin{aligned}
y' &= -\frac{x}{4y} \\
y'' &= -\frac{y-xy'}{4y^{2}} = -\frac{x^{2}+4y^{2}}{16y^{3}} \\
&= -\frac{1}{2y^{3}}
\end{aligned}

切回「可视化」模式核对分式层次后，可以在顶栏「导出」里选「PNG 图片」贴进复习笔记，这一步需要登录并开通本站会员。七类函数的整体思路见 求导方法 那篇速查表。

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