求导方法汇总：7类函数的求导思路与例题

求导方法按函数的给出方式分成 7 类：显函数直接套公式与四则法则，复合函数用链式法则由外向内逐层求，隐函数两边对 x 求导再解 y′，参数方程用 dy/dt 除以 dx/dt，幂指函数先取对数，变限积分按上下限代入再乘各自的导数，高阶导数先求前两三阶找规律。拿到一道题，先判断它属于哪一类，再套对应的思路，比直接动笔少走很多弯路。下面先给一张速查表，再逐类给一道每步都能验算的例题。

七类函数的判断与思路速查

判断顺序很简单：先看 y 是不是被单独写在等号左边。是的话再看式子里有没有复合、有没有变量出现在指数上、有没有积分号；不是的话，要么是隐函数（x、y 混在一个方程里），要么是参数方程（x、y 都由 t 表示）。

表里「结果里含」一列最容易被忽略：隐函数的导数允许同时出现 x 和 y，参数方程的导数用 t 表示，这两类的答案都不必化成只含 x 的形式。

显函数、复合函数与隐函数例题

例 1（显函数，商的法则）：y=(x²+1)/(x−1)。分子求导乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母平方：

y′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²

验算分子：2x²−2x−x²−1=x²−2x−1，与结果一致。

例 2（复合函数）：y=sin³(2x)。从外到内一共三层：立方、正弦、2x。逐层求导再相乘：

y′=3sin²(2x)·cos(2x)·2=6sin²(2x)cos(2x)

最常见的错是漏掉最里层 2x 的导数 2，结果少了一半。

例 3（隐函数）：eʸ+xy=e，求 y′ 及在点 (0,1) 处的值。两边对 x 求导，eʸ 的导数要乘 y′，xy 用乘积法则：

eʸ·y′+y+x·y′=0，整理得 y′=−y/(eʸ+x)

代入 x=0、y=1，得 y′=−1/e。先确认点在曲线上：e¹+0=e，成立。隐函数这一类的完整步骤、二阶导数和漏乘 y′ 的错误对照，单独写在 隐函数求导方法 里。

参数方程、幂指函数与变限积分例题

例 4（参数方程）：x=t−sin t，y=1−cos t。分别对 t 求导：dx/dt=1−cos t，dy/dt=sin t，于是

dy/dx=sin t/(1−cos t)

t=π/2 时，dy/dx=1/(1−0)=1。

例 5（幂指函数）：y=x^(sin x)，x>0。两边取自然对数得 ln y=sin x·ln x，再对 x 求导：y′/y=cos x·ln x+sin x/x，最后乘回 y。完整结果如下图：

例 6（变限积分）：F(x)=∫ₓ^(x²) √(1+t³) dt。上限 x² 代入被积函数再乘 (x²)′=2x，下限 x 代入再乘 1，两者相减：

F′(x)=2x√(1+x⁶)−√(1+x³)

上限代入时是把 t 换成 x²，所以根号里是 (x²)³=x⁶，写成 x⁵ 或 x³ 都是错的。

高阶导数例题与常见错误

例 7（高阶导数）：y=xeˣ，求 y⁽ⁿ⁾。先写前两阶：y′=(x+1)eˣ，y″=(x+2)eˣ，每求一次导，括号里的常数加 1，所以 y⁽ⁿ⁾=(x+n)eˣ。用莱布尼茨公式也能得到同一结果：x 的二阶及以上导数为 0，只剩两项 x·eˣ+n·1·eˣ。

七类题里反复出现的错误集中在四处：

1. 复合函数漏乘最内层导数（例 2 的 2）。
2. 隐函数里 y² 求导写成 2y，漏掉 y′。
3. 幂指函数直接按幂函数或指数函数求导，两种都只算对了一半。
4. 变限积分忘记乘上限的导数，或者上下限的正负号写反。

这七道题可以整理成一页复习卡片，每类只留原式与结果，考前对照着自己再推一遍：

把推导记成一份笔记

推导写得清楚，检查时才能一眼看出哪一步出错。在 在线公式编辑器 里把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，一步一行，用 aligned 环境写成多行，写完切回「可视化」模式核对上下标。例 5 的推导可以这样录：

\begin{aligned}
\ln y &= \sin x\,\ln x \\
\frac{y'}{y} &= \cos x\,\ln x+\frac{\sin x}{x} \\
y' &= x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)
\end{aligned}

本站负责把这些步骤排得整齐可读，每一步的运算要你自己完成并代回验算。七道题都录好后，切到「文档编辑」，用「插入公式」逐条放进同一篇文档，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」；只导出一条时，在公式编辑页选「导出」→「Word（含公式）」即可。导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 隐函数求导方法：两边对 x 求导的完整步骤与二阶导数例题
• 偏微分符号：多元函数里的偏导记号与普通导数的差别
• 图文教程总目录：更多学科专题与公式书写教程