齐次微分方程：令u=y/x化为可分离的步骤
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齐次微分方程指能整理成 y′=f(y/x) 的一阶方程，解法固定为三步：令 u=y/x，把 y=ux 和 y′=u+x·u′ 代进原方程，它就变成 u 与 x 的可分离方程；分离变量两边积分；最后把 u 换回 y/x。判断是不是这一型，只看解出 y′ 后右端能否写成比值 y/x 的函数。下面依次给出判别办法、代换速查、三道例题，以及「解出 u 就停笔」这类错误的对照。
先判型：右端能不能写成 y/x 的函数
三种判法任选其一，结论相同：
| 判法 | 做法 | 例子 |
|---|---|---|
| 化比值 | 右端分子分母同除以 x 的最高次幂 | (x²+y²)/(xy) 同除 x²，得 (1+u²)/u |
| 同乘 t | 把 x、y 同时换成 tx、ty，t 能全部约掉 | √(x²−y²)/x 换完后 t 约净 |
| 看次数 | 写成 M dx+N dy=0，M 与 N 是同次齐次式 | x²+y² 与 xy 都是二次 |
要注意「齐次」在微分方程里有两种意思。本文的齐次指右端是 y/x 的函数；一阶线性方程 y′+P(x)y=0 也叫齐次，那是指右端的自由项为零，两者解法完全不同。
右端带常数项时要先处理。例如 y′=(x+y+1)/(x−y)，同乘 t 后常数 1 约不掉；先求两直线 x+y+1=0 与 x−y=0 的交点 (−1/2, −1/2)，令 x=X−1/2、y=Y−1/2 平移过去，常数消失，才化成齐次型。
代换三步速查
- 设比值：u=y/x，于是 y=ux，按乘积法则 y′=u+x·u′。
- 分离积分：代入得 x·u′=f(u)−u，整理成 du/(f(u)−u)=dx/x，两边积分。
- 回代检查：把 u=y/x 代回，写成 y 与 x 的关系；再单独检查 f(u)−u=0 的根，它们对应的直线 y=ux 可能是分离时被除掉的解。
第 1 步是整个方法的枢纽，完整的代换链如下：
三道例题
例 1：y′=y/x+tan(y/x)。
右端已是 u+tan u。代入得 u+xu′=u+tan u，即 xu′=tan u，分离得 cot u du=dx/x。积分得 ln|sin u|=ln|x|+C₁，去掉对数写成 sin u=Cx。回代得通解 sin(y/x)=Cx。tan u=0 对应的 y=0 已含在 C=0 里，不必另写。
代回核对：取 C=0.3，即 y=x·arcsin(0.3x)，在 x=1.2 处左边导数与右端都约等于 0.754。
例 2：(x²+y²)dx−xy dy=0。
解出 y′=(x²+y²)/(xy)，同除 x² 得 y′=1/u+u。代入后 u 抵消，剩 xu′=1/u，分离得 u du=dx/x，积分得 u²/2=ln|x|+C。回代并整理：
y^{2}=x^{2}\left(2\ln|x|+C\right)
代回核对：取 C=1，在 x=1.5 处两边都约等于 2.089。
例 3（带初值）：xy′=y+√(x²−y²)，x>0，y(1)=0。
两边除以 x 得 y′=u+√(1−u²)。代入得 xu′=√(1−u²)，分离后两边积分得 arcsin u=ln x+C。由 y(1)=0 得 u(1)=0，所以 C=0，特解 y=x·sin(ln x)。整段推导可以照下面的源码录入：
\begin{aligned}
x\,u' &= \sqrt{1-u^{2}} \\
\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} &= \frac{dx}{x} \\
\arcsin u &= \ln x + C,\quad u(1)=0 \Rightarrow C=0 \\
y &= x\sin(\ln x)
\end{aligned}
这个特解有适用区间：代回原方程时根号给出的是 |cos(ln x)|，所以只在 cos(ln x)≥0 时成立，即 x 在 e^(−π/2) 到 e^(π/2) 之间（约 0.208 到 4.81）。另外，分离时除掉了 √(1−u²)，u=±1 给出的 y=x 和 y=−x 代回原方程也成立，它们是另外两个解。
停在 u 上与另外三处常见错
| 错误写法 | 问题出在哪 | 改法 |
|---|---|---|
| 例 2 写到 u²/2=ln|x|+C 就交卷 | 答案里还是 u，题目只做了一半 | 代回 u=y/x，整理成 y²=x²(2ln|x|+C) |
| 把 y′ 直接写成 u′ | 漏了乘积法则 | y′=u+x·u′ |
| 分离时随手除以 √(1−u²) | 丢掉 y=±x 这类解 | 单独检查使除式为零的 u |
| 给的是 y(2)=2，却按 u(2)=2 去定 u 式里的常数 | u 与 y 差一个因子 x，x≠1 时两者的初值不同 | 先换算 u(2)=y(2)/2=1，或回代成 y 后再定 C |
把三道题录成一页推导
这类题的推导天然分成「代换—分离—积分—回代」四行，适合用 aligned 环境写成多行。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 3 的源码粘进去，切回「可视化」模式逐行对照草稿；分式写 \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}，一行里有两个等号时 & 只放在第一个前面。
三道题的方程、化出的 f(u) 与最终结果，汇总在上面这张表里，方便期末前对照复习。微分形式里的 dx、dy 怎么读、怎么写，可以参考 微分符号。
下一步可以做的一件事：把例 2 的四行（解出 y′、代换、分离、回代）录成一条多行公式，在末行后加一行写出 C=1 时 x=1.5 的核对值，确认无误后从顶栏「导出」选「Word（含公式）」放进作业；导出需要登录并开通本站会员。
延伸阅读
常见问题
- 怎么看出方程是齐次型？
- 先把导数单独解出来，再看右端能否整理成只含 y 与 x 之比的式子，常用办法是分子分母同除以 x 的最高次幂。也可以把 x、y 同时换成 t 倍，若 t 全部约掉就是齐次型。右端带常数项的，例如分子是 x 加 y 加 1，就不是齐次型，要先平移坐标。