同济高数齐次方程：第七章第三节知识点与习题思路

同济高数齐次方程在第 7 版第七章第三节，这一节讲两件事：一是齐次方程 dy/dx=φ(y/x)，令 u=y/x 化成可分离变量方程；二是可化为齐次的方程 dy/dx=(ax+by+c)/(a₁x+b₁y+c₁)，分子分母两条直线相交时平移到交点，平行时令 v=ax+by。课后题基本就在这两类里，第二类又分两种情形。下面先把本节知识点列成一张表，再给 3 道课后题风格的例题，分别对应齐次方程、平移、系数成比例三种情形。

本节知识点一览

平移为什么有效：x、y 各加一个常数，dx、dy 不变，所以 dy/dx=dY/dX，而分子分母里的常数项恰好在交点处被抵消，剩下的只有一次项，方程就成了齐次型。系数成比例时，分子、分母的一次部分只差一个倍数，令 v=ax+by 后右端只含 v，直接分离变量。判断属于哪一行，看分子分母一次项系数组成的二阶行列式 ab₁−a₁b 是不是 0，分两种情形写：

c 与 c₁ 都是 0 时，方程本身就是齐次方程，直接用第一行。

例 1：齐次方程

题目 求 xy′=y ln(y/x) 的通解（x>0，y>0）。

两边除以 x 得 y′=(y/x)ln(y/x)，右端是 y/x 的函数。令 u=y/x，代入得 u+xu′=u ln u，整理成 xu′=u(ln u−1)。

分离变量：du/(u(ln u−1))=dx/x。左边令 w=ln u−1，dw=du/u，积分得 ln|ln u−1|=ln x+C₁，去掉对数写成 ln u−1=Cx。

回代：u=e^(Cx+1)，通解 y=xe^(Cx+1)。分离时除掉的 u(ln u−1)=0 对应 u=e，即 y=ex，它正是 C=0 的情形，已经包含在通解里。

代回核对：取 C=0.4、x=1.7，左边 xy′ 与右边 y ln(y/x) 都约等于 15.32。

例 2：两直线相交，平移到交点

题目 求 (2x−5y+3)dx−(2x+4y−6)dy=0 的通解。

写成 dy/dx=(2x−5y+3)/(2x+4y−6)。系数 2、−5 与 2、4 不成比例，两条直线相交。联立 2x−5y+3=0 与 2x+4y−6=0，相减得 y=1，再得 x=1，交点 (1, 1)。

令 x=X+1、y=Y+1，常数项消失：dY/dX=(2X−5Y)/(2X+4Y)。再令 u=Y/X，整理得 X·du/dX=−(4u−1)(u+2)/(2(2u+1))。分离变量后左边拆成部分分式：

\frac{2(2u+1)}{(4u-1)(u+2)}=\frac{4/3}{4u-1}+\frac{2/3}{u+2}

两边积分并乘以 3，得 (4u−1)(u+2)²X³=C。把 u=Y/X 代回、X³ 正好约掉，得 (4Y−X)(Y+2X)²=C，再换回 x、y：

通解为 (4y−x−3)(y+2x−3)²=C。

核对：在点 (2, 2.5) 处，由通解隐函数求出的斜率与原方程给出的斜率都是 −0.6875。整段推导在编辑器里排出来是这样：

例 3：两直线平行，令 v=x+y

题目 求 (x+y)dx+(3x+3y−4)dy=0 的通解。

系数 1、1 与 3、3 成比例，两条直线平行，找不到交点，平移不可行。令 v=x+y，则 dy/dx=dv/dx−1，原方程化为 dv/dx=(2v−4)/(3v−4)。

分离变量：(3v−4)/(2v−4)dv=dx。把左边拆成 3/2+1/(v−2)，积分得 3v/2+ln|v−2|=x+C₁。两边乘 2、代回 v=x+y 并整理，通解为 x+3y+2ln|x+y−2|=C。

另外，2v−4=0 即 x+y=2 也满足原方程：此时 dy/dx=−1，代回原方程两边都为 0。它是分离变量时除掉的解，要单独写出。

本节习题的四处常见错误

1. 平移后忘了换回：例 2 写到 (4Y−X)(Y+2X)²=C 就停笔，答案里还是大写字母。
2. 系数成比例仍去求交点：例 3 的两条直线平行，联立方程组无解。
3. u 代换漏乘积法则：y′ 应写成 u+xu′，写成 u′ 整道题都错。
4. 漏掉特殊解：例 3 的 x+y=2 在通解里取不到，要单独写。

三道例题的类型、关键代换与结果汇总如下：

例 2 是本节最长的推导：交点、平移、代换、部分分式、换回，恰好五步。部分分式那段源码直接复制，改成手头题目的系数后粘进 LaTeX 源码框即可。

延伸阅读

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