一阶线性微分方程：通解公式与3道例题

一阶线性微分方程的标准形是 y′+P(x)y=Q(x)，通解公式为 y=e^(−∫P dx)·[∫Q·e^(∫P dx)dx+C]。用公式前必须先化标准形：y′ 的系数要是 1，P(x) 要连同符号一起读出来。另一种写法是积分因子法，两边乘 μ=e^(∫P dx) 后左边变成 (μy)′，它本质上就是这条公式的推导过程，考试时写哪种都可以。

通解公式与积分因子写法

两种写法的对照如下，读者可以任选一种，同一道题建议只用一种写到底，免得两套记号混在一起。

记公式时注意两处指数的符号相反：括号外是 −∫P dx，括号内是 +∫P dx。积分因子法的好处是不用背，只要记住「乘 μ 之后左边是乘积的导数」，写错符号时第 ③ 步就凑不成 (μy)′，当场能发现。

判断方程是不是这一类，看 y 和 y′ 是否都只以一次方出现、且彼此不相乘。y′+y²=x 有平方项，y·y′=x 两者相乘，都不属于这一类；而 x²y′=y+x³ 虽然看起来复杂，两边除以 x² 后就是 P=−1/x²、Q=x 的标准形。

三道例题逐步写

例 1（先化标准形）：xy′+y=x²，x>0。

y′ 前有系数 x，两边除以 x 得 y′+(1/x)y=x，所以 P=1/x，Q=x。

积分因子法：μ=e^(∫dx/x)=e^(ln x)=x。两边乘 x 后左边正是 (xy)′，于是 (xy)′=x²，积分得 xy=x³/3+C，所以

y=\frac{x^{2}}{3}+\frac{C}{x}

公式法核对：e^(−∫P dx)=1/x，∫x·x dx=x³/3，y=(1/x)(x³/3+C)，与上面相同。代回原方程：y′=2x/3−C/x²，xy′+y=2x²/3−C/x+x²/3+C/x=x²，成立。

例 2：y′+2xy=2xe^(−x²)。

P=2x，∫P dx=x²，μ=e^(x²)。两边乘 μ：(y·e^(x²))′=2x·e^(−x²)·e^(x²)=2x。

积分：y·e^(x²)=x²+C，所以 y=(x²+C)e^(−x²)。

代回：y′=2xe^(−x²)−2x(x²+C)e^(−x²)，加上 2xy=2x(x²+C)e^(−x²)，两项抵消后恰好剩 2xe^(−x²)，成立。

例 3（带初值）：y′+y·tan x=cos x，y(0)=1，取 −π/2<x<π/2。

P=tan x，∫tan x dx=−ln(cos x)，这个区间里 cos x>0，绝对值可以去掉。μ=e^(−ln cos x)=1/cos x。

两边乘 μ：(y/cos x)′=cos x·(1/cos x)=1，积分得 y/cos x=x+C，通解 y=(x+C)cos x。

代入 y(0)=1：(0+C)·1=1，C=1，所以特解是 y=(x+1)cos x。

代回：y′=cos x−(x+1)sin x，y·tan x=(x+1)sin x，两者相加正好是 cos x。

常见错误对照

• 没化标准形就读 P：例 1 直接把 xy′+y=x² 的 P 读成 1，μ 就成了 eˣ，后面整条推导都错。
• C 写在括号外：把例 1 写成 y=x²/3+C，漏乘 1/x，代回原方程左边会多出一个 C，与右边对不上。
• 指数符号写反：括号内外都写成 +∫P dx，结果里会出现 e^(2∫P dx) 这样的错项。
• ln 的绝对值：∫dx/x=ln|x|，e^(ln|x|)=|x|；在 x>0 或 x<0 的单个区间里，绝对值带来的正负号都能并进 C。

学完一阶线性方程，接着看 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根三种情形。

按步骤排一份推导

公式法和积分因子法都是四五行等式，写在纸上容易挤，录进公式编辑页可以一行一步对齐。点「LaTeX」后把例 3 贴进去：

\begin{aligned}
\mu &= e^{\int \tan x\,dx} = \frac{1}{\cos x} \\
\left(\frac{y}{\cos x}\right)' &= 1 \\
y &= (x+C)\cos x,\quad y(0)=1 \Rightarrow C=1
\end{aligned}

在「可视化」模式下确认分式和括号的层次，只交这一条时选「导出」→「Word（含公式）」；三道例题要放进同一份作业时，切到「文档编辑」逐条「插入公式」，再导出「Word 文档 (.docx)」。Word 中每条公式都能继续修改；导出要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 二阶常系数齐次线性微分方程：相异实根、重根、共轭复根三种通解
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