二阶常系数齐次线性微分方程：特征根3种情形

二阶常系数齐次线性微分方程 y″+py′+qy=0 的解法只有一条主线：把 y″、y′、y 分别换成 r²、r、1，写出特征方程 r²+pr+q=0，再按判别式 p²−4q 的正负分三种情形写通解。两根相异实根时通解是两个指数函数的组合，重根时第二项要多乘一个 x，共轭复根 α±βi 时通解是 e^(αx) 乘余弦与正弦的组合。有初值条件时，先写通解，再对通解求一次导，把 y(0)、y′(0) 同时代入，解一个关于 C₁、C₂ 的二元一次方程组。

三种情形速查

写特征方程时，系数要连同符号照抄：方程 y″−4y′+4y=0 对应 r²−4r+4=0，p 是 −4 而不是 4。复根的 β 取正值即可，α 是实部，常常为负数，表示解随 x 增大而衰减。

特征方程的来历也值得记一笔：设 y=e^(rx)，则 y′=re^(rx)，y″=r²e^(rx)，代入原方程得 e^(rx)(r²+pr+q)=0。e^(rx) 恒不为零，所以 e^(rx) 是解当且仅当 r 满足 r²+pr+q=0，三种情形都是从这里分出来的。

三道例题与初值代入

例 1（相异实根）：y″−y′−6y=0，y(0)=1，y′(0)=8。

特征方程 r²−r−6=0，分解为 (r−3)(r+2)=0，得 r₁=3、r₂=−2，通解 y=C₁e^(3x)+C₂e^(−2x)。

求导：y′=3C₁e^(3x)−2C₂e^(−2x)。代入初值得方程组：C₁+C₂=1，3C₁−2C₂=8。把 C₂=1−C₁ 代入第二式，5C₁=10，所以 C₁=2、C₂=−1，特解为

y=2e^{3x}-e^{-2x}

例 2（二重根）：y″−4y′+4y=0，y(0)=1，y′(0)=3。

特征方程 r²−4r+4=(r−2)²=0，r=2 是二重根，通解 y=(C₁+C₂x)e^(2x)。

y(0)=C₁=1。求导时要用乘积法则：y′=C₂e^(2x)+2(C₁+C₂x)e^(2x)，所以 y′(0)=C₂+2C₁=3，得 C₂=1。特解 y=(1+x)e^(2x)。

验算：y′=(3+2x)e^(2x)，y″=(8+4x)e^(2x)，代入 y″−4y′+4y，括号里 (8+4x)−(12+8x)+(4+4x)=0，成立。

例 3（共轭复根）：y″+4y′+13y=0，y(0)=0，y′(0)=6。

特征方程 r²+4r+13=0，判别式 16−52=−36，r=(−4±6i)/2=−2±3i，所以 α=−2、β=3，通解 y=e^(−2x)(C₁cos 3x+C₂sin 3x)。

y(0)=C₁=0，通解化为 y=C₂e^(−2x)sin 3x。求导：y′=C₂e^(−2x)(−2sin 3x+3cos 3x)，y′(0)=3C₂=6，C₂=2，特解为 y=2e^(−2x)sin 3x。

常见错误对照

• 重根漏乘 x：例 2 写成 y=(C₁+C₂)e^(2x)，两项其实是同一个函数，只剩一个独立常数，满足不了两个初值。
• 复根写成 e^(βx)：例 3 把虚部 3 放进指数，写成 e^(3x)(…)，衰减的解变成了增长的解。
• 初值求导出错：重根情形的 y′ 必须用乘积法则，只写 C₂e^(2x) 会把 C₂ 解成 3。
• 特征方程符号抄错：把 y″−y′−6y=0 写成 r²+r−6=0，根变成 2 和 −3，整道题全错。

右端 f(x) 不为零时，通解等于这里的齐次通解加上一个特解，特解形式怎样按 k=0、1、2 来设，接着看 非齐次微分方程特解。

把三道题写成对照笔记

三种情形最适合并排记录：特征方程、根、通解、初值方程组、特解各占一行。打开公式编辑页点「LaTeX」，用 cases 环境写初值方程组，例 1 可以这样录：

\begin{aligned}
r^{2}-r-6 &= 0 \;\Rightarrow\; r_{1}=3,\ r_{2}=-2 \\
y &= C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x} \\
&\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1 \\ 3C_{1}-2C_{2}=8 \end{cases}
\Rightarrow C_{1}=2,\ C_{2}=-1
\end{aligned}

录好后切到「文档编辑」，用「插入公式」把三道题放进同一篇笔记，按情形加上小标题，保存文档需要登录。

延伸阅读

• 非齐次微分方程特解：待定系数表与 k 的判断
• 微分符号：导数与微分记号的含义
• 图文教程总目录：更多微分方程与学科专题