伯努利方程：令z=y^(1−n)化为一阶线性的步骤

伯努利方程是形如 y′+P(x)y=Q(x)yⁿ（n≠0、1）的一阶方程，解法固定为四步：两边同除以 yⁿ，令 z=y^(1−n)，方程就化成关于 z 的一阶线性方程；用一阶线性通解公式求出 z，再换回 y。n>0 时 y=0 也满足原方程，第一步除以 yⁿ 时把它丢掉了，答案里要单独补上。下面给出识别方法与四步速查，再用 n=2 和 n=1/2 两道例题完整走一遍。

识别与四步速查

识别只看一处：把方程整理成左边 y′+P(x)y 的样子后，右边是不是「x 的函数乘 y 的某次幂」。常见的伪装有两种：xy′+y=… 要先两边除以 x；右端写成 y²ln x/x 时，要看出 Q(x)=ln x/x、n=2。n 可以是负数或分数，例如右端是 x/y 时 n=−1，是 x√y 时 n=1/2，照样按下面四步走。

第二步是整道题的关键。z′ 里多出的系数 1−n 要乘到 P 和 Q 上，代换后的方程统一写成：

例 1：n=2，带初值

题目 求 xy′+y=y²ln x 满足 y(1)=1/2 的特解。

化标准形：两边除以 x，得 y′+(1/x)y=(ln x/x)y²，所以 P=1/x，Q=ln x/x，n=2。

代换：令 z=y⁻¹，按上面的公式，系数 1−n=−1，方程化为 z′−z/x=−ln x/x。

解线性方程：积分因子是 1/x，两边乘上后得到 (z/x)′=−ln x/x²。右端积分用分部积分：∫(−ln x/x²)dx=(ln x+1)/x+C，所以 z=ln x+1+Cx。

回代：y=1/(ln x+1+Cx)。代入 y(1)=1/2，得 1+C=2，C=1，特解为 y=1/(ln x+x+1)。y=0 虽然也满足原方程，但不满足初值，不写进答案。推导在编辑器里逐行排好是这样：

例 2：n=1/2，y=0 要单独写

题目 求 y′−y=x√y 的通解。

化标准形：P=−1，Q=x，n=1/2，这里默认 y≥0。

代换：令 z=y^(1/2)，系数 1−n=1/2，方程化为 z′−z/2=x/2。

解线性方程：积分因子是 e^(−x/2)，得 (z·e^(−x/2))′=(x/2)e^(−x/2)。分部积分后 z·e^(−x/2)=−(x+2)e^(−x/2)+C，所以 z=Ce^(x/2)−x−2。

回代并补解：√y=Ce^(x/2)−x−2，即

y=\left(Ce^{\frac{x}{2}}-x-2\right)^{2}\quad\left(Ce^{\frac{x}{2}}-x-2\geqslant 0\right),\qquad y=0

y=0 代回原方程两边都是 0，它不在通解里（没有哪个 C 能让 Ce^(x/2)−x−2 恒为 0），所以要单独列出。把 C=2 和 C=3 的曲线画出来能看到，C=2 那条在原点正好碰到 y=0：

数值核对：取 C=5、x=1.3，左边 y′−y 与右边 x√y 都约等于 8.161。

四处常见错误

四步的顺序与每步的输出如下，做题时可以照着一步一行往下写：

d、y′ 这些记号怎么读、写在什么位置，可以看 微分符号。

例 2 的答案有两部分，誊写时最容易漏掉后半个。把通解与 y=0 并排写在同一行，用「以及」连接；只交这一条时，从顶栏「导出」选「Word（含公式）」，需登录并开通会员。

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