可降阶的高阶微分方程：3种类型的降阶方法

可降阶的高阶微分方程分三种类型，各有一条固定的代换：y⁽ⁿ⁾=f(x) 型直接连续积分 n 次；y″=f(x, y′) 型方程里不含 y，令 p=y′，y″=dp/dx，降成关于 p 与 x 的一阶方程；y″=f(y, y′) 型方程里不含 x，令 p=y′ 并把 p 看成 y 的函数，y″=p·dp/dy，降成关于 p 与 y 的一阶方程。三种类型的差别只在 y″ 换成什么。下面给出速查表和三道例题，每道都带初值，逐步写出常数怎么定。

三种类型速查

类型	方程特征	代换	降阶后
y⁽ⁿ⁾=f(x)	右端只有 x	不代换	连续积分 n 次，带 n 个常数
y″=f(x, y′)	缺 y	p=y′，y″=dp/dx	p 与 x 的一阶方程
y″=f(y, y′)	缺 x	p=y′ 作 y 的函数，y″=p·dp/dy	p 与 y 的一阶方程

判断时先看方程里缺哪个字母：缺 y 就按 x 求导，缺 x 就按 y 求导。两个字母都缺的，例如 y″=(y′)²，两种代换都能用，一般按缺 y 处理更短，因为降阶后的方程直接就是 p 与 x 的可分离方程。y‴=f(x) 这类三阶题同样属于第一行，积分三次、带三个常数。第三行的 y″ 来自链式法则：y′ 先对 y 求导、再乘 y 对 x 的导数，而后者正是 p 本身。这一步是整个专题最容易写错的地方，写成 dp/dx 后方程里会同时剩下 x、y、p 三个变量：

例 1、例 2：直接积分型与缺 y 型

例 1 求 y″=xeˣ 满足 y(0)=0、y′(0)=0 的特解。

第一次积分：y′=∫xeˣdx=(x−1)eˣ+C₁。代入 y′(0)=0，得 −1+C₁=0，C₁=1。

第二次积分：y=∫[(x−1)eˣ+1]dx=(x−2)eˣ+x+C₂。代入 y(0)=0，得 C₂=2，特解为 y=(x−2)eˣ+x+2。每积分一次就定一个常数，后面的式子会短很多。

例 2 求 (1+x²)y″=2xy′ 满足 y(0)=1、y′(0)=3 的特解。

方程里没有 y，令 p=y′，得 (1+x²)p′=2xp。分离变量：dp/p=2x/(1+x²)dx，积分得 p=C₁(1+x²)。由 p(0)=3 得 C₁=3，所以 y′=3+3x²。再积分一次，y=x³+3x+C₂，由 y(0)=1 得特解 y=x³+3x+1。

代回核对：y″=6x，左边 (1+x²)·6x=6x+6x³，右边 2x(3x²+3)=6x³+6x，两边相等。

例 3：缺 x 型

例 3 求 y″=3√y 满足 y(0)=1、y′(0)=2 的特解。

方程里没有 x。令 p=y′ 作 y 的函数，y″=p·dp/dy，方程变成 p·dp/dy=3y^(1/2)。

第一次积分：p dp=3y^(1/2)dy，积分得 p²/2=2y^(3/2)+C₁。初值给的是 y=1 时 p=2，代入得 2=2+C₁，C₁=0。

开方取号：p²=4y^(3/2)，p=±2y^(3/4)。由 y′(0)=2>0 取正号，p=2y^(3/4)。

第二次积分：y^(−3/4)dy=2dx，积分得 4y^(1/4)=2x+C₂，由 y(0)=1 得 C₂=4，所以 y^(1/4)=x/2+1，特解为 y=(x/2+1)⁴。

整段推导在编辑器里逐行排好是这样：

代回核对：y′=2(x/2+1)³，y″=3(x/2+1)²，而 √y=(x/2+1)²，所以 y″=3√y 成立；x=0 时 y′=2，初值也对。解曲线在 x=0 处的切线斜率正是 2：

这道题若不先定 C₁，p 就是 √(4y^(3/2)+2C₁)，再分离变量得到的积分求不出初等原函数；先代初值让 C₁=0，式子立刻变简单，这就是「边积分边定常数」的好处。

常见错误对照

错误写法	出在哪	正确写法
缺 x 型写 y″=dp/dx	例 3	y″=p·dp/dy，方程里只留 y 与 p
常数攒到最后一起定	例 1、例 3	每积分一次就代初值
p=2y^(3/4) 不说明取号	例 3	写出 ± 再由 y′(0) 的符号取舍
y‴=f(x) 只写一个常数	直接积分型	积分 n 次，常数 C₁ 到 Cₙ 各一个

三道例题的类型、代换与特解汇总如下：

例 3 的四步（换 y″、第一次积分、取号、第二次积分）就是缺 x 型的模板，碰到新题只替换右端 3√y。录入 dp/dy 时用分式模板，分子写完按 Tab 跳到分母。

延伸阅读

• 微分符号：d 在微分、导数记号与积分变量三处位置的读法
• 帮助中心：快速上手、公式编辑双模式、导入导出与会员边界等使用教程