重特征值对应几个特征向量？

k 重特征值对应的线性无关特征向量个数，等于 n 减去 λE−A 的秩，这个数至少是 1、至多是 k。等于 k 时，这个特征值的特征向量够用；小于 k 时，矩阵就不能相似对角化。实对称矩阵是特例，它的每个 k 重特征值都恰好对应 k 个线性无关的特征向量。所以遇到重根，一定要算一次 λE−A 的秩再下结论。

特征值与特征向量求法：3阶矩阵完整例题

更新于 2026-10-13

特征值与特征向量求法分两段：先解特征方程 |λE−A|=0 得到全部特征值，再对每个特征值 λᵢ 解齐次方程组 (λᵢE−A)x=0，它的非零解就是对应的特征向量。3 阶矩阵的难点在第一段，特征多项式是三次的，直接展开后不好因式分解，先用行列变换提出一个公因子会轻松很多。算出特征值后，用「特征值之和等于迹、特征值之积等于行列式」核对一遍，再进入第二段。

两段步骤与核对方法

写特征矩阵：主对角线元素写成 λ−aᵢᵢ，其余元素全部变号，得到 λE−A。
求特征多项式并分解：优先找「每行之和相同」「某行加某行后出现公因子」这类结构，先提出一个一次因子，再处理剩下的二次式。
核对特征值：n 个特征值（重根按重数计）之和等于 A 的迹，即主对角线之和；它们的积等于 |A|。
逐个求特征向量：把 λᵢ 代入 λE−A，行变换化成行简化阶梯形，写出基础解系；对应的全部特征向量是基础解系的非零线性组合。

第 3 步几乎不费力，却能拦下大多数符号错误，尤其是 λE−A 里非对角元漏变号的那种。第 4 步与解齐次方程组完全相同，自由未知量依次取单位向量，解向量共有 n−r 个，r 是 λᵢE−A 的秩；个数少于重数时，这个特征值给不出足够的特征向量，矩阵不能相似对角化。

两道例题用迹与行列式核对特征值的对照表

例 1：三个特征值中有一个二重根

例 1：A 的三行是 (1, 2, 2)、(2, 1, 2)、(2, 2, 1)，求特征值与特征向量。

λE−A 的每一行加起来都等于 λ−5。把第二、三列都加到第一列，提出公因子 λ−5，再用第二、三行分别减去第一行，展开过程见下方公式图。

特征值 λ₁=5，λ₂=λ₃=−1。核对：迹 1+1+1=3，而 5−1−1= 3；|A|=1×(1−4)−2×(2−4)+2×(4−2)=−3+4+4=5，而 5×(−1)×(−1)= 5，两项都对上。

例 1 提出公因子后得到的特征多项式

λ=−1：−E−A 的每个元素都是 −2，化简后只剩一个方程 x₁+x₂+x₃=0，秩为 1，自由未知量有 3−1=2 个。取 x₂=1、x₃=0 得 ξ₁=(−1, 1, 0)ᵀ，取 x₂=0、x₃=1 得 ξ₂=(−1, 0, 1)ᵀ。对应的全部特征向量是 k₁ξ₁+k₂ξ₂，k₁、k₂ 不同时为零。

λ=5：5E−A 的三行是 (4, −2, −2)、(−2, 4, −2)、(−2, −2, 4)，化成行简化阶梯形后是 x₁−x₃=0、x₂−x₃=0，取 x₃=1 得 ξ₃=(1, 1, 1)ᵀ。验算 Aξ₃：每行元素之和都是 5，所以 Aξ₃=(5, 5, 5)ᵀ=5ξ₃。

编辑器里例 1 三个特征向量按特征值排好

例 2：二重根只有一个特征向量

例 2：A 的三行是 (2, 1, 0)、(0, 2, 0)、(1, 0, 1)。

λE−A 的第三列只有右下角一个非零元 λ−1，按第三列展开：|λE−A|=(λ−1)(λ−2)²。特征值 λ₁=λ₂=2，λ₃=1；核对迹 2+2+1= 5；|A| 按第三列展开为 1×(2×2−1×0)= 4，等于 2×2×1，均吻合。

λ=2：2E−A 的三行是 (0, −1, 0)、(0, 0, 0)、(−1, 0, 1)，秩为 2，解出 x₂=0、x₁=x₃，只得到一个解向量 ξ₁=(1, 0, 1)ᵀ。二重根却只有 3−2=1 个线性无关的特征向量，所以这个矩阵无法相似对角化。

λ=1：E−A 的三行是 (−1, −1, 0)、(0, −1, 0)、(−1, 0, 0)，得 x₁=x₂=0，x₃ 自由，ξ₂=(0, 0, 1)ᵀ。验算 Aξ₂ 就是 A 的第三列 (0, 0, 1)ᵀ，正好等于 1·ξ₂。

特征值重数与线性无关特征向量个数对照

常见错误对照

错误	后果	改法
对角线写 λ−aᵢᵢ，非对角元却照抄	得到的矩阵既非 λE−A 也非 A−λE	非对角元全部变号，或整体改写成 A−λE
三次式硬展开再试根	展开时丢项，试根试不出	先用行列变换提出一次因子
把零向量写成特征向量	特征向量定义要求非零	通解里写明系数不全为零
重根只写一个特征向量	例 1 的 λ=−1 漏掉一个方向	按 n−r(λE−A) 数解向量个数

这些特征向量都是齐次方程组的解，求解时用到的行变换与求逆矩阵、求秩是同一套。λ、ξ 这些希腊字母的中文读法见数学符号读法大全。

把两段推导录进编辑器

特征值题的推导一般四五行：特征矩阵、特征多项式、特征值、每个特征值的方程组与解向量。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，行列式用 vmatrix、矩阵用 pmatrix，列向量可以写成 (1,1,1)^{T}，要竖排就用 pmatrix，与上面特征向量截图的写法一致。

特征值题最常见的抄写错是正负号：λ−1 与 λ+1 只差一笔，切到「可视化」模式后逐项和草稿比对；矩阵行列对齐的写法见矩阵书写。

这一题可以现在就动手：把例 1 的特征多项式那一行录进编辑器，下面补一行「迹 3 = 5−1−1，行列式 5」作为核对，从「导出」选「SVG 矢量」放进讲义；导出需要登录并开通本站会员。

常见问题

重特征值对应几个特征向量？: k 重特征值对应的线性无关特征向量个数，等于 n 减去 λE−A 的秩，这个数至少是 1、至多是 k。等于 k 时，这个特征值的特征向量够用；小于 k 时，矩阵就不能相似对角化。实对称矩阵是特例，它的每个 k 重特征值都恰好对应 k 个线性无关的特征向量。所以遇到重根，一定要算一次 λE−A 的秩再下结论。