二重积分交换积分次序：先画区域再定限的步骤

二重积分交换积分次序分三步：先由原来的积分限还原出积分区域 D，再判断 D 换一个方向穿线时是 X 型还是 Y 型、要不要拆块，最后按新顺序重新定限。积分限只是同一块区域的一种坐标描述，交换次序是换种方式描述它，跳过画图直接对调上下限，得到的多半是另一块区域。下面三道例题分别对应三种典型情形：内层积分积不出来、两块合成一块、一块拆成两块。

三步法：还原区域、改写类型、重新定限

1. 还原区域：内层积分的上下限是两条边界曲线，外层积分的上下限是两条直线，四条边界围出 D。把它们画在同一张草图上，标出交点坐标。
2. 改写类型：X 型是用竖线穿过区域，下边界和上边界各是一条 y=φ(x)；Y 型是用横线穿过区域，左边界和右边界各是一条 x=ψ(y)。原来是哪一型，新顺序就改写成另一型。
3. 重新定限：新的外层限取 D 在另一条坐标轴上的投影区间，必须是常数；新的内层限从穿线进入区域的边界写到离开区域的边界。穿线途中边界换了曲线，就在换的位置把区域切开。

草图上一定要标出每个交点的坐标，第三步的转折点靠它找：边界中途换了曲线，只有换个方向穿线才会暴露。改写边界时还要把 y=φ(x) 反解成 x=ψ(y)，例如 y=x² 在第一象限反解成 x=√y。

例题一：内层积分算不出来时换次序

例 1：计算下面的二重积分。

\int_0^1 dy\int_y^1 e^{x^2}\,dx

e^(x²) 的原函数无法用初等函数写出，按原顺序卡在内层，只能换次序。还原区域：外层 0≤y≤1，内层 y≤x≤1。

区域草图：直线 y=x、直线 x=1 与 x 轴围成的直角三角形，三个顶点是 (0,0)、(1,0)、(1,1)，直角在 (1,0)。改成 X 型，竖线从 x 轴 y=0 进入，从斜边 y=x 离开，外层 x 从 0 到 1，内层 0≤y≤x，换序后的等式见下方公式图。

换序后内层对 y 积分，e^(x²) 当常数，多出的 x 正好凑成 x·e^(x²)，再用凑微分得 ½e^(x²)，代入上下限得 (e−1)/2。

例题二、三：合并与拆分

例 2（两块合成一块）：交换 ∫₀¹ dx ∫₀ˣ f(x,y) dy + ∫₁² dx ∫₀^(2−x) f(x,y) dy 的次序。

还原区域：第一块是 0≤x≤1 时夹在 x 轴与 y=x 之间，第二块是 1≤x≤2 时夹在 x 轴与 y=2−x 之间。区域草图：两块拼成一个三角形，顶点 (0,0)、(2,0)、(1,1)。横线穿过时，从左斜边 x=y 进入、从右斜边 x=2−y 离开，y 从 0 到 1，合并后是：

\int_0^1 dy\int_y^{2-y} f(x,y)\,dx

核对：取 f=1，原来两块的面积各是 1/2，合计 1；新写法 ∫₀¹(2−2y)dy=2−1= 1，一致。

例 3（一块拆成两块）：交换 ∫₀² dx ∫ₓ^(2x) f(x,y) dy 的次序。

区域草图：直线 y=x、y=2x 与 x=2 围成的三角形，顶点 (0,0)、(2,2)、(2,4)。横线穿过时左边界始终是 y=2x，即 x=y/2；右边界在 y≤2 时是 y=x，即 x=y，在 y≥2 时变成直线 x=2。转折点 y=2 即 (2,2) 的纵坐标，故要拆开：y 在 [0, 2] 时 x 从 y/2 到 y，y 在 [2, 4] 时 x 从 y/2 到 2，两段相加，编辑器里的写法见下图。

核对：取 f=1，原式面积 ∫₀² x dx=2；拆开后两块分别是 ∫₀² (y/2)dy=1 与 ∫₂⁴ (2−y/2)dy=1，合计 2。

三道例题的限汇总如下。

常见错误对照

四种坐标的选择与定限见 重积分计算方法。

把换序过程录成三行推导

换序推导录成三行：原积分、新积分、结果。拆块的等式在「可视化」模式里看，两段上下限是否衔接一目了然。

在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，上下限写成 \int_{y/2}^{2}，带分式的限一定加花括号；区域的记号 D 与积分号的读法见 二重积分符号。

把例 1 的换序三行照原样录进编辑器，第二行旁边用 \text{} 注明「X 型：0≤y≤x」，切回「可视化」模式确认无误后从「导出」选「PNG 图片」贴进笔记；导出需登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 重积分计算方法：四种坐标的选择、面积元与定限
• 二重积分符号：积分区域 D 的读写方法
• 积分符号：积分号怎么读、怎么写