重积分计算方法：二重三重积分的坐标选择与定限

重积分计算方法可以归结为两件事：按区域形状和被积函数选坐标系，再把区域翻译成一组「外层是常数、内层可含外层变量」的积分限。二重积分在直角坐标与极坐标之间选，三重积分在直角、柱、球三种坐标之间选；换坐标时，面积元或体积元必须一起换。下面先给速查表，再各配一道可手算复核的例题。

四种坐标怎么选：面积元与定限速查

选坐标时区域优先、被积函数其次。边界方程里有 x²+y²，先想极坐标或柱坐标；有 x²+y²+z²，先想球坐标。两者冲突时按区域选，定错限的代价更大。

表里最后一列是定限的顺序，也是穿线的方向：二重积分用一条竖线（或从原点出发的射线）穿过区域，先碰到的边界是下限，后碰到的是上限。三重积分先沿 z 方向穿线定出上下曲面，投影区域再按二重积分处理。

二重积分：直角坐标与极坐标各一例

例 1（直角坐标）：在区域 D 上计算 ∬ xy dσ，D 由 y=x 与 y=x² 围成。

区域草图：两条曲线交于 (0,0) 与 (1,1)，在 0<x<1 时直线在抛物线上方，D 是夹在两者之间的一条月牙形窄带。竖线穿过 D，下端碰到 y=x²，上端碰到 y=x，所以按 X 型定限：0≤x≤1，x²≤y≤x。

\iint_D xy\,d\sigma=\int_0^1 x\,dx\int_{x^2}^{x}y\,dy=\int_0^1\frac{x^3-x^5}{2}\,dx=\frac{1}{24}

复核中间一步：内层 ∫y dy 从 x² 到 x 得 (x²−x⁴)/2，乘外层的 x 得 (x³−x⁵)/2；再积分得 ½×(1/4−1/6)= 1/24。

例 2（极坐标）：在区域 D 上计算 ∬ √(x²+y²) dσ，D 是第一象限里 1≤x²+y²≤4 的四分之一圆环。

区域草图：半径 1 与半径 2 的两段圆弧，夹在正 x 轴与正 y 轴之间。从原点出发的射线先穿进内圆弧、再从外圆弧出去，所以 0≤θ≤π/2，1≤r≤2。被积函数 √(x²+y²) 变成 r，再乘面积元里的 r，累次积分与结果见下方公式图。

复核积分限：把被积函数换成 1，同样的限给出面积 (π/2)×(4−1)/2=3π/4，正好等于大四分之一圆 π 减去小四分之一圆 π/4。限对了，结果 7π/6 才可信。

三重积分：柱坐标与球坐标各一例

例 3（柱坐标）：在立体 Ω 上计算 ∭ z dV，Ω 由旋转抛物面 z=x²+y² 与平面 z=4 围成。

区域草图：开口朝上的抛物面被 z=4 截出一只「碗」，交线是 z=4 上半径 2 的圆，投影到 xOy 面是圆盘 x²+y²≤4。在圆盘内任取一点竖直向上，先穿过抛物面 z=r²，再从平面 z=4 出去，所以 0≤θ≤2π，0≤r≤2，r²≤z≤4，按 z、r、θ 的顺序由内向外积分（源码见后文）。

逐层复核：最内层得 (16−r⁴)/2，乘 r 后对 r 积分得 (32−32/3)/2=32/3，再乘 θ 方向的 2π，得 64π/3。

例 4（球坐标）：在立体 Ω 上计算 ∭ (x²+y²+z²) dV，Ω 是上半单位球 x²+y²+z²≤1，z≥0。

区域草图：半个球，底面是 xOy 面上的单位圆盘。φ 是与 z 轴正向的夹角，上半球对应 0≤φ≤π/2；θ 绕 z 轴转一整圈；ρ 从球心 0 到球面 1。被积函数变成 ρ²，体积元再贡献 ρ² sin φ，写法见本节末的截图。

三个因子分别是 2π、1、1/5，乘起来是 2π/5。被积函数换成 1 可核对积分限：2π×1×1/3=2π/3，恰好是单位球体积 4π/3 的一半。

定限时最常出的四个错

最后一行在直角坐标里最常见：同一块区域换个积分顺序，可能就要拆成两块；内层积分算不出来时，还得主动换顺序。

把四道题的推导录成一页笔记

重积分的推导一行里常有三层积分号，誊抄最容易错位。建议每道题录成一条多行公式：第一行写原积分，第二行写换坐标后的累次积分，第三行写结果，复核时只看第二行的限对不对。

在本站打开公式编辑页，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 环境写成多行。例 3 照下面这段录入，三重积分号写 \iiint_\Omega，积分变量前的小空格写 \,：

\begin{aligned}
\iiint_\Omega z\,dV
&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r\,dr\int_{r^2}^{4}z\,dz\\
&=\pi\int_0^2\left(16r-r^5\right)dr=\frac{64\pi}{3}
\end{aligned}

四道题的积分限与面积元并排放在一页上，四种坐标的差别一目了然，上图是按此整理的示意。四条要放进同一份 Word：切到「文档编辑」，用「插入公式」逐条插入，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」；公式编辑里的「Word（含公式）」只导出当前这一条。三重积分号的读法与几种写法，可以参考 三重积分符号。

录完先切回「可视化」模式对照草稿：积分限、微分次序、面积元里的 r 都要对上。本站只负责把推导排整齐，数值仍按上面的复核方法手算确认。

下一步可把例 2 的四分之一圆环积分照原样录进编辑器，第二行专门写 θ 与 r 的限，核对后从顶栏「导出」选「Word（含公式）」放进作业；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 三重积分符号：空间积分的读写方法
• 二重积分符号：积分区域 D 与面积元的写法