方向导数与梯度：公式、关系与2道例题

方向导数与梯度的关系可以用一句话概括：函数在可微点处沿方向 l 的方向导数，等于该点的梯度与 l 的单位向量的点积，即 ∂f/∂l=∇f·eₗ=(∂f/∂x)cos α+(∂f/∂y)cos β（三元再加 (∂f/∂z)cos γ）。由点积公式，它也等于 |∇f|cos θ，θ 是梯度与 l 的夹角。所以沿梯度方向方向导数最大，等于 |∇f|，函数上升得最陡；沿反方向最小，等于 −|∇f|；与梯度垂直的方向上等于 0。下面给出公式速查与两道例题，第二道专门演示方向没单位化的错误。

公式与三个特殊方向

计算方向导数只要三步：求出三个（或两个）偏导，代入点得到梯度；把方向向量除以它的模得到单位向量；两者做点积。

前提是 f 在该点可微。偏导数都存在但不可微时，这条点积公式可能不成立，考试中给出的多是多项式、指数这类处处可微的函数。

核心公式与夹角形式排出来如下。最后一个等号把方向导数拆成「梯度的长度」乘「夹角余弦」，梯度长度在给定点是定值，方向导数的大小就只由夹角决定，上表三行正是由此得来。例题里算出结果后，可以用它检查数值是否超过梯度的长度：

例 1：二元函数，方向由两点给出

题目 求 f(x, y)=xe^(2y) 在点 P(1, 0) 处沿从 P 到 Q(2, −1) 方向的方向导数，并指出沿哪个方向函数上升得最陡。

梯度：∂f/∂x=e^(2y)，∂f/∂y=2xe^(2y)，在 P 处 ∇f=(1, 2)。

单位方向：l=Q−P=(1, −1)，模为 √2，eₗ=(1/√2, −1/√2)。

点积：∂f/∂l=1×(1/√2)+2×(−1/√2)=−1/√2=−√2/2，约 −0.707，函数沿这个方向在减小。

上升最陡的方向是梯度方向 (1, 2)，最大增长率为 |∇f|=√5，约 2.236。梯度与经过 P 的等值线 xe^(2y)=1 垂直，下图可以看到这一点：

例 2：三元函数，方向没单位化的错误

题目 求 f(x, y, z)=x²+2y²+3z² 在点 (1, 1, 1) 处沿 l=(1, 2, 2) 方向的方向导数，并求该点方向导数的最大值。

梯度：∇f=(2x, 4y, 6z)，在 (1, 1, 1) 处为 (2, 4, 6)。

单位方向：|l|=√(1+4+4)=3，eₗ=(1/3, 2/3, 2/3)。

点积：∂f/∂l=2×1/3+4×2/3+6×2/3=22/3，约 7.333。

最大值：|∇f|=√(4+16+36)=√56=2√14，约 7.483。22/3 比它略小，说明 l 与梯度方向很接近但不重合，这也是检查结果是否合理的一个办法：任何方向导数的绝对值都不会超过 |∇f|。

错误写法：直接拿 (1, 2, 2) 与梯度点乘，得 2+8+12=22，正好是正确值的 3 倍，也就是 |l| 倍，而且超过了最大值 2√14，一比就能发现错了。整段推导在编辑器里排出来是这样：

常见错误对照

例 1 在点 P 处各方向的方向导数汇总如下：

∂ 与普通导数 d 的区别，以及偏导数在推导里怎样读，可以参考 偏微分符号。

交卷前把梯度、单位向量、点积分三行写，阅卷老师一眼能看到单位化这一步；∇ 在编辑区敲 \nabla 加空格就出来。

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