AC−B²=0怎么判断极值：用定义取路径的方法

AC−B²=0怎么判断极值？这时二阶判别法失效，只能回到定义：比较驻点附近的函数值与驻点处的函数值。要说明「不是极值点」，找两条过驻点的路径，让差值 Δf 一正一负即可；要说明「是极值点」，得对整个邻域证明 Δf 不变号，常用配方。下面先讲路径怎么挑，再用 3 道例题分别演示「不是」「是」和「直线骗人」三种结局。

路径怎么挑：先看二次部分

驻点处一阶项为零，函数增量的主体是由 A、B、C 组成的二次式。AC−B²=0 且 A≠0 时，这个二次式恰好是一个完全平方，它只在 Ah+Bk=0 这一个方向上为零（A=0 时 B 也必为 0，二次式只剩 Ck²，为零的方向是 k=0，即沿 x 轴）。沿其他方向，二次部分说了算；沿这一个方向，二次部分消失，函数增量的符号由三次、四次这些高阶项决定。所以路径分两条取：

路径	取法	读出什么
路径一	二次部分不为零的方向，例如坐标轴或 y=x	二次部分的符号（与 A 同号）
路径二	沿 Ah+Bk=0 的直线	高阶项（三次、四次）的符号

两条路径的符号相反，驻点就不是极值点；符号相同时，路径法给不出结论，要么配方证明它是极值点，要么换曲线路径继续找反例。AC−B² 本身就是二阶偏导矩阵的行列式，写成矩阵时外面用竖线。

完全平方的来历是配方：把二次部分按 h 整理后，AC−B² 那一项正好是零，剩下的就是一个平方：

例 1：不是极值点

题目 讨论 f(x, y)=x⁴+y⁴−x²−2xy−y² 的极值。

驻点：∂f/∂x=4x³−2x−2y=0，∂f/∂y=4y³−2x−2y=0。两式相减得 x³=y³，即 x=y，再代回得 4x³−4x=0，驻点为 (0, 0)、(1, 1)、(−1, −1)。

二阶偏导：A=12x²−2，B=−2，C=12y²−2。在 (1, 1) 与 (−1, −1) 处 A=10、C=10，AC−B²=96>0，都是极小值点，极小值为 −2。

在 (0, 0) 处 A=B=C=−2，AC−B²=4−4=0，判别法失效。二次部分是 −(x+y)²，按上表取两条路径，f(0, 0)=0：

• 路径一 y=x：f=2x⁴−4x²=2x²(x²−2)，当 0<|x|<√2 时 小于 0；
• 路径二 y=−x（即 Ah+Bk=0）：二次部分消失，f=2x⁴，大于 0。

原点任意小的邻域里既有比 0 大的值，也有比 0 小的值，所以 (0, 0) 不是极值点。数值核对：x=0.1 时两条路径上的 f 分别约为 −0.0398 与 0.0002。

例 2：是极值点，要靠配方

题目 判断 f(x, y)=x²−2xy+y²+x⁴+y⁴ 在原点是否取极值。

∂f/∂x=2x−2y+4x³，∂f/∂y=−2x+2y+4y³，两式相加得 x³+y³=0，即 y=−x，代回得 4x+4x³=0，驻点只有原点。原点处 A=2、B=−2、C=2，AC−B²=0。

沿路径 y=x 走，f=2x⁴>0，与二次部分 (x−y)²≥0 同号，两条路径给出的是同一个符号，路径法到这里只能说明「可能是」。真正的证明要配方：

f(x, y)=(x−y)²+x⁴+y⁴≥0=f(0, 0)，

等号只在 x−y=0 且 x=y=0 时成立。原点附近除原点外都有 f>0，原点是极小值点，极小值为 0。

例 3：所有直线都说是，其实不是

题目 判断 f(x, y)=(y−x²)(y−2x²) 在原点是否取极值。

原点是驻点，A=0、B=0、C=2，AC−B²=0。沿 y 轴 f=y²>0；沿 x 轴 f=2x⁴>0；沿任意直线 y=kx（k≠0），f=x²(k−x)(k−2x)，x 足够小时也大于 0。每一条过原点的直线都给出「极小」。

但函数值在两条抛物线 y=x² 与 y=2x² 之间是负的。取曲线路径 y=1.5x²，f=(0.5x²)(−0.5x²)=−0.25x⁴<0，原点任意小的邻域里都有这样的点，所以原点不是极值点：

这类题的线索是：高阶项里 y 与 x² 同阶，反例要沿 y=cx² 这样的曲线去找。

常见错误对照

错误	反例	正确做法
AC−B²=0 就判「不是极值」	例 2 是极小值点	回到定义，逐个驻点讨论
两条路径同号就判「是极值」	例 3	同号时要配方证明，或换曲线路径
路径只沿坐标轴取	例 1 沿两条坐标轴 f 都小于 0，会误判成极大值	必取 Ah+Bk=0 那条直线
比较时忘了减去 f(x₀, y₀)	驻点函数值不为 0 的题	比较的是 f 与驻点函数值之差

三道例题的结论汇总如下：

例 1 的两条路径值得写成对照的一行：左边 y=x，右边 y=−x，分号隔开，各自跟上 f 的化简结果与正负号。在公式编辑页的可视化模式下核对 x⁴、x² 的指数，再放进判别过程。

延伸阅读

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