行列式计算方法：化三角、按行展开与特殊行列式

行列式计算方法按结构选四种：一般的数字行列式用初等行变换化成上三角，主对角线相乘；某一行或某一列零很多时按它展开，降一阶再算；每行元素之和都相等时，把各列加到第一列、提出公因子；各列是同一组数的 0 到 n−1 次幂时，直接套范德蒙德行列式公式。四种方法出符号错的地方各不相同，下面每类配一道 4 阶例题，并单独标出这一类最容易错的符号。

四类方法速查

三条行变换规则要背熟：交换两行，行列式变号；某一行乘 k，行列式乘 k；某一行加上另一行的 k 倍，行列式不变。化三角时只用第三条，值就不会变；不得不交换行时，每换一次记一个负号，最后按负号个数的奇偶定结果的正负。按列做的变换规则完全相同。

按行展开时，第 i 行第 j 列元素的代数余子式是余子式乘 (−1)ⁱ⁺ʲ。这个位置符号按棋盘格排列，左上角为正，相邻格子正负交替：

例 1：化上三角

例 1：计算 4 阶行列式 D，四行依次为 (1, 2, −1, 3)、(2, 5, 0, 4)、(−1, −1, 3, −2)、(3, 6, −2, 10)。

第一列消元：第 2 行减去第 1 行的 2 倍，第 3 行加上第 1 行，第 4 行减去第 1 行的 3 倍，后三行变成 (0, 1, 2, −2)、(0, 1, 2, 1)、(0, 0, 1, 1)。

第二列消元：第 3 行减去第 2 行，得 (0, 0, 0, 3)。这时第 3 行第 3 列是 0，而第 4 行第 3 列是 1，交换第 3、4 两行，行列式变号。

读结果：主对角线是 1、1、1、3，乘积 3，加上刚才那个负号，D= −3。

例 2：按零最多的一列展开

例 2：计算 D，四行依次为 (2, 0, 0, 1)、(1, 3, 5, −1)、(0, 2, 0, 1)、(4, 1, 0, 2)。

第 3 列只有第 2 行的 5 不是 0，按第 3 列展开只剩一项。位置 (2, 3) 的符号是 (−1)²⁺³=−1：

D=5\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}2&0&1\\0&2&1\\4&1&2\end{vmatrix}
=-5\left[2(4-1)-0+1(0-8)\right]=-5\cdot(-2)=10

漏了位置符号，就会得到 −10。第 2 行第 3 列在棋盘格上是负号格，对照上面的符号图就不会错。

两类特殊行列式

例 3：每行之和相等

例 3：计算 4 阶行列式，主对角线上都是 3，其余元素都是 1。

每行之和都是 6。把第 2、3、4 列都加到第 1 列，第 1 列变成四个 6，提出公因子 6，第 1 列全是 1。再用第 2、3、4 行分别减去第 1 行，得到主对角线为 1、2、2、2 的上三角，所以 D=6×1×2×2×2= 48。

一般地，n 阶行列式主对角线为 a、其余为 b 时，值是 (a+(n−1)b)·(a−b)ⁿ⁻¹；代 a=3、b=1、n=4，正好是 6×2³=48。

例 4：范德蒙德行列式

例 4：计算 4 阶行列式，第 1 行全是 1，第 2 行是 1、2、−1、3，第 3、4 行分别是第 2 行各数的平方和立方。

这正是 x₁=1、x₂=2、x₃=−1、x₄=3 的范德蒙德行列式，值等于所有 xⱼ−xᵢ（j>i）的乘积，共 6 个因子：

(2−1)(−1−1)(3−1)(−1−2)(3−2)(3−(−1))=1×(−2)×2×(−3)×1×4= 48。

减的顺序必须固定为后减前。4 阶有 6 个因子，写反了恰好不变号；3 阶只有 3 个因子，写反就差一个负号，所以别指望「碰巧对」。

录入行列式的写法

在本站公式编辑页点「LaTeX」，行列式用 vmatrix 环境，元素之间用 & 分隔、行末用两个反斜杠换行；范德蒙德公式里的连乘号写 \prod_{1\le i<j\le n}。多行矩阵怎样排得整齐见 矩阵书写，连乘号 Π 的读法与展开见 连乘符号。

行变换算行列式，出错多半出在正负号上。照例 1 让每次变换独占一个等号，交换行的那一步在等号前带上负号，录好后逐格对草稿；作业要交 Word 的，用「导出」里的「Word（含公式）」，这一步须登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法
• 连乘符号：展开思路与常见误读
• 克拉默法则：用行列式解方程组的条件与三道例题