克拉默法则：用行列式解方程组的条件与例题
更新于
克拉默法则说的是：n 个方程、n 个未知数的线性方程组，只要系数行列式 D≠0，就只有一个解，xⱼ=Dⱼ/D，其中 Dⱼ 是把 D 的第 j 列换成常数列得到的行列式。两个条件缺一不可：方程个数等于未知数个数，系数行列式不为零。三元方程组要算 4 个三阶行列式，适合手算核对和含参数的题；阶数再高时计算量太大，一般改用消元法。
条件与公式速查
法则的两层意思分开记：D≠0 时解存在且只有一个；解的每个分量都是两个行列式之比。对齐次方程组（常数项全为 0），每个 Dⱼ 都有一列全是 0，所以 D≠0 时只有零解；反过来，齐次方程组有非零解，就必须 D=0。
| 情形 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 非齐次，方程数 = 未知数个数 | D≠0 | 只有一个解，xⱼ=Dⱼ/D |
| 非齐次，方程数 = 未知数个数 | D=0 | 法则不适用，改用消元判断 |
| 齐次 | D≠0 | 只有零解 |
| 齐次 | D=0 | 有非零解 |
| 方程数 ≠ 未知数个数 | — | 没有 D，法则不适用 |
动笔之前，先把每个方程整理成未知数按 x、y、z 的顺序排列、常数项移到等号右边的形式，缺项的位置补 0，系数行列式才不会抄错列。比如方程 x+z=4 缺 y，系数要写成 1、0、1，常数列里对应填 4。换列时要注意方向：常数列替换的是第 j 列，而不是第 j 行；D 的其余各列原样保留。条件满足后，每个未知数单独由一个比值给出、互不牵连，这正是它适合含参数题的原因。
例 1：三元方程组，逐列替换求 Dⱼ
题目 解方程组 2x−y+z=3，x+3y−2z=1，3x+y−z=2。
第 1 步：算 D。系数矩阵三行是 (2, −1, 1)、(1, 3, −2)、(3, 1, −1)，按第一行展开：D=2×(−3+2)+1×(−1+6)+1×(1−9)=−2+5−8=−5，不为零，法则可用。
第 2 步：逐列替换。常数列是 (3, 1, 2)ᵀ。换掉第 1 列得 D₁=−5，换掉第 2 列得 D₂=−10，换掉第 3 列得 D₃=−15，三个行列式见下图。
第 3 步：相除并代回。x=D₁/D=1，y=D₂/D=2，z=D₃/D=3。代回第三个方程：3×1+2−3=2，与右端相符；另外两个方程同样成立。
例 2：含参数的方程组
题目 方程组 kx+y+z=1，x+ky+z=1，x+y+kz=1。k 取何值时只有一个解？求出这个解。
算 D：每行元素之和都是 k+2，把第二、三列加到第一列后提出 k+2，再消元，得 D=(k+2)(k−1)²。所以 k≠1 且 k≠−2 时 D≠0，方程组只有一个解。
算 D₁：第 1 列换成 (1, 1, 1)ᵀ，第二、三行减去第一行，得 D₁=(k−1)²。于是 x=D₁/D=1/(k+2)。三个方程关于 x、y、z 轮换对称，y、z 也都等于 1/(k+2)。核对 k=3：x=y=z=1/5，第一个方程 3/5+1/5+1/5=1。
例 3：齐次方程组何时有非零解
题目 把例 2 的常数项都改成 0，k 取何值时有非零解？
齐次方程组有非零解的条件是 D=0，由例 2 已知 D=(k+2)(k−1)²，所以 k=1 或 k=−2。k=−2 时，(1, 1, 1)ᵀ 是一个非零解，代进 −2x+y+z 得 0；k=1 时三个方程都变成 x+y+z=0，比如 (1, −1, 0)ᵀ。
常见错误对照
四条里第一条最常见：例 1 若把常数列错填进第 1 行，得到的行列式是 −24 而不是 −5，x 就算成了 24/5。行列式的行与列怎么对齐排版，见 矩阵书写。
在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，行列式用 vmatrix；下面是例 1 的 D₂，第 2 列已经换成常数列，改数字就能套用：
D_2=\begin{vmatrix}2&3&1\\1&1&-2\\3&2&-1\end{vmatrix}=-10,\qquad y=\frac{D_2}{D}=\frac{-10}{-5}=2
手写时 D 与三个 Dⱼ 的列最容易错位，录进编辑器后切到「可视化」模式逐列对照常数列的位置，再把解代回原方程写成最后一行。
延伸阅读
常见问题
- 系数行列式为0时怎么办？
- 系数行列式为零时克拉默法则不能用，方程组要么无解、要么有无穷多解，需要改用消元法：把增广矩阵化成行阶梯形，比较系数矩阵与增广矩阵的秩，秩不相等无解，相等则有无穷多解。齐次方程组一定有零解，行列式为零恰好说明它还有非零解，本文例 3 就是用这一点求参数的。