正态分布标准化：Z=(X−μ)/σ查表求概率例题

正态分布标准化就是令 Z=(X−μ)/σ：若 X~N(μ, σ²)，则 Z~N(0, 1)，于是 P(X≤x)=Φ((x−μ)/σ)，查一次标准正态分布表 Φ 就能得到概率。区间概率用两端各查一次再相减，负数处用 Φ(−x)=1−Φ(x) 换成正数再查。反过来已知概率求临界值时，先在表里反查出 z，再用 x=μ+zσ 还原。

三条公式与查表顺序

1. 标准化：把区间端点 a、b 各自换成 (a−μ)/σ 与 (b−μ)/σ，两个数都保留两位小数，与表的精度一致。
2. 查表：非负的 z 直接查 Φ(z)；负的 z 先查 Φ(|z|)，再用 1 去减。
3. 组合：P(a<X<b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)；P(X>b)=1−Φ((b−μ)/σ)。

第 1 步最常见的错误是除以方差：N(70, 64) 里的 64 是 σ²，标准化要除以 σ= 8。连续型分布取到单点的概率为 0，所以 P(a<X<b) 与 P(a≤X≤b) 的数值相同，端点带不带等号都照同一个公式算。

第 3 步的两条式子都来自分布函数的定义：区间概率是两个累积概率之差，右尾概率是 1 减去左侧的累积概率。写推导时把每一步的 z 值先单独写出来，再代进 Φ，回头检查时能一眼看出是哪一步出的错。

下图把这三条公式排在一起，考试时按从上到下的顺序用。

例 1、例 2：区间概率与负数查表

下面三道题都设某门课的考试成绩 X~N(70, 8²)。用到的表值是 Φ(1)= 0.8413、Φ(1.5)= 0.9332、Φ(2)= 0.9772，下图把它们与例 3 要反查的两格排在一起。

例 1：求 P(62<X<86)。标准化：(86−70)/8=2，(62−70)/8=−1。于是 P=Φ(2)−Φ(−1)=0.9772−(1−0.8413)=0.9772−0.1587= 0.8185。

例 2：求成绩低于 58 分的概率。(58−70)/8=−1.5，P(X<58)=Φ(−1.5)=1−Φ(1.5)=1−0.9332= 0.0668。由对称性，高于 82 分的概率 P(X>82)=1−Φ(1.5) 也是 0.0668，两个端点关于均值 70 对称，这个结果可以用来核对。

例 3：已知概率反查分位数

例 3：成绩前 5% 的同学获得优秀，优秀线 c 是多少？

条件是 P(X>c)=0.05，即 Φ((c−70)/8)=0.95。表里 Φ(1.64)=0.9495、Φ(1.65)=0.9505，0.95 正好在两者中间，取 z=1.645。于是 (c−70)/8=1.645，c=70+1.645×8= 83.16，约 83 分以上为优秀。

反查时先判断方向：「前 5%」是右尾，查的是 0.95；若问「后 10%」，就要找 Φ(z)=0.10，这个 z 是负数，先按 Φ(|z|)=0.90 查出正数，再加负号。

两组用来核对的数

对称区间的概率可以合成一条式子：P(|X−μ|<kσ)=2Φ(k)−1。k 取 1、2、3 时分别是 2×0.8413−1= 0.6826、2×0.9772−1= 0.9544、2×0.9987−1= 0.9974，这就是常说的「3σ 原则」。套到本文的成绩分布上：62 到 78 分约占 68%，54 到 86 分约占 95%，几乎所有人都在 46 到 94 分之间。

做完一道题可以拿这组数估一下量级：例 1 的区间从 μ−σ 到 μ+2σ，概率应当落在 0.6826 与 0.9544 之间，0.8185 正好在里面；例 3 的优秀线 83.16 在 μ+σ 与 μ+2σ 之间，右尾 5% 也符合这个位置。

常见错误对照

录这类推导时，Φ 与 μ、σ 都是命令输入：在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，打 \Phi、\mu、\sigma，符号随打随显，按空格结束命令接着写。希腊字母的命令记不住时，可以在 LaTeX 符号大全 里查到，点「在编辑器中打开」直接带进编辑器。例 1 的完整一行如下：

P(62<X<86)=\Phi\left(\frac{86-70}{8}\right)-\Phi\left(\frac{62-70}{8}\right)=\Phi(2)-\Phi(-1)=0.8185

反查题先认方向：「前 5%」「优秀率 5%」都是右尾，先按 0.95 查出 z，再用 x=μ+zσ 还原成分数。

延伸阅读

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