极大线性无关组：列向量排矩阵做行变换的求法

求极大线性无关组的标准做法是：把向量按列排成矩阵 A，只用初等行变换化成行简化阶梯形，主元所在的列对应的原向量就组成一个极大无关组，向量个数等于秩；非主元列里的数字，就是其余向量用这组向量表示时的系数。整个过程只化一次矩阵，秩、极大无关组、线性表示三问一起回答。关键在于只做行变换，因为行变换不改变列与列之间的线性关系。

四步求法

1. 按列排：α₁、α₂、…、αₘ 依次作为第 1 到第 m 列，写成矩阵 A=(α₁, α₂, …, αₘ)。
2. 只做行变换：化到行阶梯形就能看出秩与主元列；要写表示式，就继续化到行简化阶梯形，每个主元为 1、主元所在列其余元素为 0。
3. 取主元列：主元所在的第 j₁、j₂、… 列，对应原来的 αⱼ₁、αⱼ₂、…，这就是所求的一组，个数等于秩 r。
4. 读系数：非主元列 j 从上往下的前 r 个数，依次是 αⱼ 用主元列向量表示时的系数。

第 4 步的依据是：行简化阶梯形里各列之间的线性关系，与原矩阵各列之间的关系完全相同。行简化阶梯形的主元列是单位向量，其余列的表示系数一眼就能读出来，再原样搬回原向量即可。

极大无关组一般不止一组，只要是 r 个线性无关的向量都行；按主元列取，是最容易说清理由的一种取法。

下图是例 1 的矩阵化成行简化阶梯形前后的对照，第 3 列没有主元。

例 1：四个四维向量

例 1：α₁=(1, 2, −1, 1)ᵀ，α₂=(0, 1, 1, 0)ᵀ，α₃=(2, 3, −3, 2)ᵀ，α₄=(0, 0, 1, 2)ᵀ。求秩与一个极大无关组，并把其余向量用它表示。

行变换：矩阵四行是 (1, 0, 2, 0)、(2, 1, 3, 0)、(−1, 1, −3, 1)、(1, 0, 2, 2)。第二行减第一行的 2 倍得 (0, 1, −1, 0)；第三行加第一行得 (0, 1, −1, 1)；第四行减第一行得 (0, 0, 0, 2)。第三行再减第二行得 (0, 0, 0, 1)，第四行减第三行的 2 倍成为零行。

读结果：行简化阶梯形的三行是 (1, 0, 2, 0)、(0, 1, −1, 0)、(0, 0, 0, 1)，秩为 3，主元在第 1、2、4 列，所以取 α₁、α₂、α₄ 即可。第 3 列是 (2, −1, 0)ᵀ，于是 α₃=2α₁−α₂。代回原向量核对：2(1, 2, −1, 1)ᵀ−(0, 1, 1, 0)ᵀ=(2, 3, −3, 2)ᵀ，正是 α₃。

例 2：主元不在前几列

例 2：α₁=(1, 2, −1)ᵀ，α₂=(2, 4, −2)ᵀ，α₃=(1, 1, 1)ᵀ，α₄=(2, 3, 0)ᵀ，α₅=(2, 5, −4)ᵀ。

矩阵三行是 (1, 2, 1, 2, 2)、(2, 4, 1, 3, 5)、(−1, −2, 1, 0, −4)。第二行减第一行的 2 倍得 (0, 0, −1, −1, 1)，第三行加第一行得 (0, 0, 2, 2, −2)，它恰好是上一行的 −2 倍，再消一次成为零行。第二行乘 −1 得 (0, 0, 1, 1, −1)，第一行减去它得 (1, 2, 0, 1, 3)。

秩为 2，主元在第 1、3 列，极大无关组取 α₁、α₃。第 2 列的主元位置读出 (2, 0)，第 4 列是 (1, 1)，第 5 列是 (3, −1)，所以 α₂=2α₁，α₄=α₁+α₃，α₅=3α₁−α₃。核对 α₅：3(1, 2, −1)ᵀ−(1, 1, 1)ᵀ=(2, 5, −4)ᵀ。

这一题提醒两点：第二个主元跳过了第 2 列，因为 α₂ 与 α₁ 成比例；另外 α₃、α₄ 同样线性无关，也是一个极大无关组，答案不止一组，但个数一定是 2。

常见错误对照

录这类题时，行变换的每一步写在箭头上方，回查时一目了然。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，矩阵用 pmatrix，箭头写 \xrightarrow{r_2-2r_1}，多个操作可以用逗号隔开写在同一个箭头上；下面这段是例 2 的前两步，复制后能直接改数：

\begin{pmatrix}1&2&1&2&2\\2&4&1&3&5\\-1&-2&1&0&-4\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3+r_1}
\begin{pmatrix}1&2&1&2&2\\0&0&-1&-1&1\\0&0&2&2&-2\end{pmatrix}

两道例题的秩都小于向量个数，所以总有向量要被别的表示；若阶梯形里每一列都有主元，秩等于向量个数，这组向量本身就线性无关，只剩写结论一步。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明