常数变易法：从齐次解到非齐次通解的推导步骤

常数变易法解一阶线性方程 y′+P(x)y=Q(x) 分三步：先解对应的齐次方程 y′+P(x)y=0，得到 y=Ce^(−∫P dx)；再把常数 C 换成未知函数 u(x)，设 y=u(x)e^(−∫P dx)；最后代回原方程，含 u 的项会互相抵消，只剩 u′ 的方程，积分求出 u 再乘回齐次解，就得到通解。通解公式其实就是这三步的结果，公式记不住时，按常数变易法现推一遍即可。之所以叫「变易」，是因为齐次通解里本来是常数的 C，被放宽成随 x 变化的函数，多出来的这点自由度正好用来凑出右边的 Q(x)。

三步推导：通解公式从哪里来

下面先推一般形式，再做两道具体题；推一般形式时 ∫P dx 只取一个原函数，不加常数。

第一步，解齐次方程。 y′=−P(x)y 可以分离变量：dy/y=−P(x)dx，积分得 y=Ce^(−∫P dx)。

第二步，把 C 换成 u(x)。 设 y=u·e^(−∫P dx)，求导用乘积法则：y′=u′e^(−∫P dx)−P·u·e^(−∫P dx)。

第三步，代回原方程。 y′+Py 中，−P·u·e^(−∫P dx) 与 +P·u·e^(−∫P dx) 正好抵消，剩下 u′e^(−∫P dx)=Q，于是 u′=Q·e^(∫P dx)。积分后代回，就是通解公式：

第三步里「u 的项抵消」是一个自带的检查：代回之后若还剩着 u 本身，说明第二步求导或第一步齐次解写错了，不必算到最后才发现。

例 1：y′−y/x=x²ln x（x>0）

解齐次。 y′=y/x，分离变量 dy/y=dx/x，得 y=Cx。

变易常数。 设 y=u(x)·x，则 y′=u′x+u。

代回。 左边 u′x+u−u，含 u 的两项抵消，得 u′x=x²ln x，即 u′=x ln x。这一步要分部积分：取 ln x 为被求导的一方，得 u=(x²/2)ln x−x²/4+C。

乘回齐次解 x，通解 y=(x³/2)ln x−x³/4+Cx。

对照通解公式。 P=−1/x，e^(−∫P dx)=x，∫Q·e^(∫P dx)dx=∫x²ln x·(1/x)dx=∫x ln x dx，与上面的 u′ 完全相同，只是公式把这一步藏起来了。

代数值核对：取 C=2，在 x=2.5 处用差商算 y′−y/x，得 5.72682，与 2.5²×ln 2.5≈5.72682 一致。

例 2：y′+y=e^(−x)cos x，y(0)=1

解齐次。 y′=−y，得 y=Ce^(−x)。

变易常数。 设 y=u·e^(−x)，y′=u′e^(−x)−u·e^(−x)。

代回。 u′e^(−x)−ue^(−x)+ue^(−x)=e^(−x)cos x，抵消后 u′=cos x，u=sin x+C，通解 y=(sin x+C)e^(−x)。

定常数。 x=0 时 y=(0+C)·1=1，C=1，特解 y=(sin x+1)e^(−x)。代回核对：y′=cos x·e^(−x)−(sin x+1)e^(−x)，加上 y 后正好剩 e^(−x)cos x。

常见错误对照

错误	后果	改法
y′ 前有系数就开始做	P 读错，齐次解全错	先两边除以 y′ 的系数
求导时把 u 当常数，漏掉 u′ 那一项	代回得 0=Q，推不下去	乘积法则两项都写
积分 u′ 时忘加 C	只得到一个特解	u 的积分常数就是通解里的 C
把 C 加在最外面	例 1 写成 (x³/2)ln x−x³/4+C	C 要乘上齐次解 x，写成 Cx

三步推导适合写成上下对齐的几行。在本站编辑器点「LaTeX」，把例 2 的「设、代回、积分」三行用 aligned 排好，切回「可视化」模式看指数 −x 是否都排进了上标；多道题要合成一份时，到「文档编辑」逐条「插入公式」，再导出「Word 文档 (.docx)」，这一步要登录并开通本站会员。分式较多的行，可以参考分数输入里的写法。

常数变易法为什么总能走通，看例 1 代回那一行就明白：+u 与 −u 一定相消，剩下的只有 u′，一次积分就求出 u。

延伸阅读

• 分数输入：y/x、x²/2 这类分式在公式里的规范排法
• 帮助中心：LaTeX 模式与文档编辑的操作说明