变上限积分求导：3种上下限情形的公式与例题

变上限积分求导的基本公式是：F(x) 等于 f(t) 从 a 积到 φ(x) 时，F′(x) = f(φ(x))·φ′(x)，也就是「把上限代进被积函数，再乘上限的导数」。下限是 x 的函数时，代进去再乘它的导数、前面加负号；上下限都是 x 的函数时，两项各算一次再相减。下面按上下限的这 3 种情形各给公式和一道例题，另加一道被积函数里也含 x 的题（要先把 x 提到积分号外或换元），并单列最常见的错误：忘了乘上限的导数。

例 1、例 2′ 都给了某个 x 处的 F′ 数值，可以自己代入对照。本文只讲手算步骤与书写，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

三种情形速查

前三行其实是一条：上下限都是函数时的公式，令下限为常数就得第一行，令上限为常数就得第二行。它的来历是牛顿–莱布尼茨公式加链式法则：设 G 是 f 的一个原函数，积分等于 G(φ(x)) − G(ψ(x))，对 x 求导，每一项按复合函数求导各乘一次内层导数。

四道例题

例 1（上限是函数）：F(x) = ∫₀^(x³) e^(−t²) dt，求 F′(x)。

1. 上限 φ(x) = x³，φ′(x) = 3x²。
2. 把 t 换成 x³ 代进被积函数：e^(−(x³)²) = e^(−x⁶)。
3. 相乘：F′(x) = 3x²·e^(−x⁶)。

e^(−t²) 的原函数写不成初等函数，这道题只能靠公式，不能先积出来再求导。x=0.8 时 F′ 约为 1.4772。

例 2（下限是函数）：F(x) = ∫_(sin x)^1 √(1+t²) dt，求 F′(x)。

1. 上限是常数 1，那一项的导数为 0。
2. 下限 ψ(x) = sin x，ψ′(x) = cos x。
3. 代入并加负号：F′(x) = −√(1+sin²x)·cos x。

也可以先交换上下限，把它写成 −∫₁^(sin x) √(1+t²) dt，再按情形一做，结果相同。

例 2′（上下限都是函数）：F(x) = ∫ₓ^(x²) sin(t²) dt，求 F′(x)。

1. 上限 φ(x) = x²，φ′(x) = 2x，代入得 sin(x⁴)·2x。
2. 下限 ψ(x) = x，ψ′(x) = 1，代入得 sin(x²)·1。
3. 上限项减下限项：F′(x) = 2x·sin(x⁴) − sin(x²)。

x=1.2 时 F′ 约为 1.1115。

例 3（被积函数含 x）：F(x) = ∫₀^x (x−t)cos t dt，求 F′(x)。

1. 先展开，把只含 x 的因子提出来：F(x) = x∫₀^x cos t dt − ∫₀^x t cos t dt。
2. 第一项用乘积法则：(x)′·∫₀^x cos t dt + x·cos x = sin x + x cos x。
3. 第二项用情形一：x cos x。
4. 相减：F′(x) = sin x。

验算：直接积分可得 F(x) = 1 − cos x，求导正是 sin x。

最常见的错误：忘乘上限的导数

例 3 那一行最隐蔽：公式「代上限」只适用于被积函数里没有 x 的情形，x 还在积分号里时直接代，会得到完全错误的 0。

录入推导

变限积分的上下限位置要清楚，手写容易挤在一起。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 3 的分离与求导录成一条：

F'(x)=\frac{d}{dx}\left[x\int_{0}^{x}\cos t\,dt-\int_{0}^{x}t\cos t\,dt\right]=\sin x+x\cos x-x\cos x=\sin x

这几道题其实共用一条公式。把速查表「上下限都是函数」那一行写在作业第一行，后面每题注明用的是它的哪个特例，思路一眼可见；上下限要写在积分号右侧的上下方，别挤成一团。

延伸阅读

• 积分符号：积分号怎么读、怎么写与何时使用
• 二重积分符号：积分区域怎样理解