三重积分柱坐标与球坐标：怎么选与定限

三重积分柱坐标与球坐标怎么选，先看区域、再看被积函数：立体由圆柱面、旋转抛物面、平面围成，或被积函数含 x²+y²，用柱坐标，体积元 dV=r dr dθ dz；立体由球面、锥面围成，或被积函数含 x²+y²+z²，用球坐标，体积元 dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ。定限的顺序也各有套路：柱坐标先把立体投影到 xOy 面、按极坐标定 θ 与 r，再沿 z 方向穿线找下曲面和上曲面；球坐标依次定 θ、φ、ρ，其中 φ 从 z 轴正向量起。下面先给选择表，再用两道例题把定限完整写一遍，每题都核对一遍体积。

按区域与被积函数选坐标

区域与被积函数给出的信号冲突时，以区域为准：定错限的代价比多积一步大得多。锥面在柱坐标里写成 z=r，在球坐标里写成 φ=常数，两种都能用，要看另一张曲面是什么。

两套坐标的换元与体积元

柱坐标就是「xOy 面用极坐标，z 不变」，所以体积元是极坐标面积元 r dr dθ 再乘 dz。球坐标的体积元多出 ρ² sinφ：小块在 ρ 方向长 dρ，在 φ 方向长 ρ dφ，在 θ 方向是半径为 ρ sinφ 的圆上的一段弧，长 ρ sinφ dθ，三者相乘。

例 1（柱坐标）：两个旋转抛物面之间

在立体 Ω 上计算 ∭ (x²+y²) dV，Ω 由 z=x²+y² 与 z=2−x²−y² 围成。

投影定 r、θ：两曲面相交时 r²=2−r²，得 r=1，所以投影是单位圆盘，θ 从 0 到 2π，r 从 0 到 1。

穿线定 z：从投影区域内一点竖直向上，先穿过下曲面 z=r²，再从上曲面 z=2−r² 离开。

写积分：被积函数 x²+y² 化成 r²，再乘体积元里的 r：

\iiint_\Omega (x^{2}+y^{2})\,dV
=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{1}r^{3}\,dr\int_{r^{2}}^{2-r^{2}}dz
=2\pi\int_0^{1}\left(2r^{3}-2r^{5}\right)dr=\frac{\pi}{3}

核对体积：把被积函数换成 1，同样的限给出 2π∫₀¹(2r−2r³)dr=2π×(1−1/2)=π。直接用两个抛物面之间的高度 2−2r² 乘圆环面积 2πr dr 积分，结果相同。

例 2（球坐标）：锥面上方、球面之内

在立体 Ω 上计算 ∭ (x²+y²+z²) dV，Ω 由锥面 z=√(x²+y²) 与球面 x²+y²+z²=2z 围成（锥面上方、球面以内）。

定 θ：立体绕 z 轴一整圈，θ 从 0 到 2π。

定 φ：锥面 z=√(x²+y²) 与 z 轴的夹角是 45°，立体在锥面内侧，φ 从 0 到 π/4。

定 ρ：球面代入 ρ²=2ρcosφ，得 ρ=2cosφ，这是一个过原点、球心在 (0, 0, 1) 的球。射线从原点出发，一直走到球面，ρ 从 0 到 2cosφ。

被积函数化成 ρ²，再乘体积元的 ρ² sinφ，最内层对 ρ 积分得 (32/5)cos⁵φ，最后结果是 28π/15，积分过程见下图：

核对体积：被积函数换成 1，得 2π∫₀^(π/4)(8/3)cos³φ·sinφ dφ=π。改用柱坐标：r 从 0 到 1，z 从锥面 r 到球面上半 1+√(1−r²)，2π∫₀¹(1+√(1−r²)−r)r dr 同样等于 π，两种坐标对上了。

定限时常见的四个错

1. φ 取到 2π：φ 只管上下，范围在 0 到 π 之内；绕一圈的是 θ。
2. 漏乘 ρ² sinφ：只写 dρ dφ dθ，例 2 的结果会差出一个随 φ 变化的因子，核对体积时一眼露馅。
3. 把偏心球当成以原点为心：x²+y²+z²=2z 的 ρ 上限是 2cosφ，不是常数 1。
4. 柱坐标的 z 限写反：例 1 在 r<1 时 2−r² 在上、r² 在下，写反得负数。

录推导时，建议每道题写成「定限一行、累次积分一行、结果一行」。在本站公式编辑页点「LaTeX」，三重积分号写 \iiint_\Omega，φ 写 \varphi 或 \phi，前后统一一种；三重积分号的读法与上下限依赖见 三重积分符号，积分号的一般写法见 积分符号。

接下来可以把例 2 的三行定限与积分录成一条公式，末尾补一行「体积 π，与柱坐标一致」的核对，从「导出」选「SVG 矢量」插进复习讲义；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 三重积分符号：空间积分的读写方法与雅可比因子
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