三角有理式积分：t=tan(x/2)代换与2道例题
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三角有理式积分，指被积函数是 sin x、cos x 经过有限次加减乘除得到的式子。通用做法是令 t=tan(x/2)，这时 sin x=2t/(1+t²)，cos x=(1−t²)/(1+t²)，dx=2dt/(1+t²)，被积式一律变成 t 的有理函数，再按有理函数积分做完、把 t 换回 tan(x/2)。这个代换一定走得通，但换出来的分式常常次数偏高，所以先查三种能走捷径的情形，都不满足再用它。
下文先给三条替换式的来历，再写 2 道完整例题，最后列出什么时候不必用它，以及几种常见写错的地方。
三条替换式从哪里来
三条式子都来自半角公式。把 sin x 写成 2sin(x/2)cos(x/2)，分子分母同除以 cos²(x/2)，分母那个 1 写成 sin²(x/2)+cos²(x/2)，就得到 2t/(1+t²)；cos x 同理，用 cos²(x/2)−sin²(x/2) 除以同一个 1，得 (1−t²)/(1+t²)。
dx 那一条由 x=2arctan t 求导得到：dx=2dt/(1+t²)。这三条要一起记，漏掉 dx 里的 2/(1+t²) 是这类题最常见的错。记的时候注意三式的分母都是 1+t²，代入后被积式里的 1+t² 往往能成片约掉，这是后面两道例题化简的关键。
x 限制在 (−π, π) 内，tan(x/2) 才有定义且单调，代换可逆。不定积分的结果按这个区间写，定积分的上下限也要落在同一个区间里。
例 1：分母是 2+cos x
例 1：求 ∫dx/(2+cos x)。
- 代入：2+cos x=(2+2t²+1−t²)/(1+t²)=(3+t²)/(1+t²)。
- 与 dx 合并：被积式变成 [(1+t²)/(3+t²)]·[2/(1+t²)]dt=2dt/(3+t²)，1+t² 恰好约掉。
- 套 arctan 公式：∫2dt/(t²+3)=(2/√3)arctan(t/√3)+C。
- 回代：结果是 (2/√3)arctan(tan(x/2)/√3)+C。
对结果求导，链式法则会把 tan(x/2) 的导数和 arctan 的导数乘在一起，化简后正好回到 1/(2+cos x)。若题目改成从 0 积到 π/2，t 的范围是 0 到 1，结果是 (2/√3)arctan(1/√3)= π/(3√3)。
例 2：分子分母都有 sin x
例 2：求 ∫(1+sin x)/[sin x(1+cos x)] dx。
- 分母：sin x(1+cos x)=[2t/(1+t²)]·[2/(1+t²)]=4t/(1+t²)²。
- 分子：1+sin x=(1+t²+2t)/(1+t²)=(1+t)²/(1+t²)。
- 连同 dx 相乘：(1+t)²/(1+t²)·(1+t²)²/(4t)·2/(1+t²)=(1+t)²/(2t)，三处 1+t² 全部约掉。
- 展开积分：(1+t)²/(2t)=1/(2t)+1+t/2，积出 ½ln|t|+t+t²/4+C。
回代后是 ½ln|tan(x/2)|+tan(x/2)+¼tan²(x/2)+C。这道题的关键在第 3 步：先把 1+t² 的因子数清楚再约，被积式只剩一个很简单的分式。
\int\frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx=\int\frac{(1+t)^{2}}{2t}dt=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+\tan\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\tan^{2}\frac{x}{2}+C
什么时候不必用它
设被积函数是 R(sin x, cos x)，下面三种对称情形各有更省事的代换，换完次数明显更低：
| 条件 | 代换 | 对照式 |
|---|---|---|
| R(−sin x, cos x)=−R | u=cos x | ∫sin x/(1+cos x)dx=−ln(1+cos x)+C |
| R(sin x, −cos x)=−R | u=sin x | ∫cos x/(1+sin²x)dx=arctan(sin x)+C |
| R(−sin x, −cos x)=R | t=tan x | ∫dx/(1+sin²x)=(1/√2)arctan(√2 tan x)+C |
第一行其实就是凑微分：分子 sin x dx=−d(cos x)。第三行用 t=tan x 时，sin²x=t²/(1+t²)，dx=dt/(1+t²)，被积式变成 1/(1+2t²)。这三种情形用万能代换也能做，只是要多拆几次分式。
常见写错的四处
- dx 没换：只换了 sin x、cos x，dx 还写着 dx，结果差一个因子 2/(1+t²)。
- 没约就拆分式：例 2 若不先约掉 1+t²，要拆的是五次分母，工作量翻几倍。
- 忘了回代：最后答案停在 t 上，要换回 tan(x/2)。
- 定积分不换限：例 1 的定积分版本，上下限要从 0、π/2 换成 0、1。
录推导时，t 的三条替换式可以用 aligned 写成一组，例 1 从代换到回代则可以写成一行。本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」就能照着打，\arctan、\sqrt 这些命令随打随显。
例 2 第 3 步那一行值得单独抄进笔记：三个分式相乘时，1+t² 在分子里出现两次、分母里也出现两次，数清楚再约，剩下的就只有 (1+t)²/(2t)。
延伸阅读
常见问题
- 这种代换算起来太繁怎么办？
- 先别急着代。看被积式能不能凑微分，比如分子正好是分母的导数；再看它关于 sin x、cos x 有没有奇偶对称，满足条件就改用 u 等于 cos x、u 等于 sin x 或 t 等于 tan x，换完的有理式次数低得多。这三条都不满足时再用 tan(x/2)，代完先把 1+t² 的因子约干净，再拆部分分式。