全概率公式：划分样本空间的3道例题

全概率公式用来求「经过一个不确定的中间环节之后，某个结果发生」的概率：先把中间环节的所有可能情况 A₁, A₂, …, Aₙ 列成一个完备事件组，再按 P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+…+P(Aₙ)P(B|Aₙ) 加权求和。它是「由因求果」：每个原因发生的概率乘以该原因下结果发生的概率，所有原因的贡献加起来就是结果的概率。用好它的关键在于找对划分，下面先讲划分怎么找，再用抽球、产品来源、抽签三道例题逐步演示。

完备事件组怎么找

完备事件组要同时满足两条：两两互斥，任何两种情况不会同时发生；并起来是整个样本空间，所有情况都被列到。找的时候问自己一句：结果发生之前，经过了哪一步结果不确定的环节？这一环节的全部可能结果，就是要找的划分。

题型	中间环节	完备事件组
两袋之间先转移一球再取球	转移的是哪种颜色	转移红球 / 转移白球
产品来自几家供应商	这件产品来自谁	各家供应商各占一个事件
多人依次不放回抽签	前一个人抽中没有	前者中签 / 前者未中

列完先做一个检查：各个 P(Aᵢ) 相加必须等于 1。不等于 1，说明漏了情况或者有重叠，这一步能拦下大多数漏项错误。条件概率 P(B|Aᵢ) 则要逐个写在对应的原因旁边，一一对齐再相乘，漏写或错位都会直接改变结果。

例 1、例 2：抽球与产品来源

例 1（抽球）：甲袋有 3 个红球、2 个白球，乙袋有 2 个红球、3 个白球。从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，求取到红球的概率。

划分按「转移的球的颜色」：A₁ 为转入红球，P(A₁)=3/5；A₂ 为转入白球，P(A₂)=2/5，两者之和为 1。转入红球后乙袋有 3 红 3 白，P(B|A₁)=3/6；转入白球后是 2 红 4 白，P(B|A₂)=2/6，加权求和的算式见下方公式图。

结果 13/30 约为 0.433，比乙袋原来的红球比例 2/5 略高，因为甲袋红球多，转入红球的可能更大，方向合理。

例 2（产品来源）：某车间的零件来自三家供应商，份额分别为 40%、35%、25%，次品率分别为 2%、4%、6%。任取一件，求它是次品的概率。

划分按「来自哪一家」，份额之和 0.40+0.35+0.25=1，满足完备性。三项贡献依次是 0.40×0.02=0.008、0.35×0.04=0.014、0.25×0.06=0.015，相加得 P(B)=0.008+0.014+0.015=0.037。

次品率为 3.7%，落在最小的 2% 与最大的 6% 之间，这是加权平均应有的样子。

例 3：抽签为什么公平

例 3：10 张签中有 3 张中签，甲先抽、乙后抽，都不放回。求乙中签的概率。

乙的结果取决于甲抽中没有，划分就是 A₁ 甲中签、A₂ 甲未中签，P(A₁)=3/10，P(A₂)=7/10。甲中签后剩 9 张里有 2 张中签，甲未中签时剩 9 张里仍有 3 张：

P(B)=3/10×2/9+7/10×3/9=6/90+21/90=27/90= 3/10

乙中签的概率与甲相同，都是 3/10。这正是抽签先后不影响公平性的原因，按同样的划分可以一直推到第十个人。

常见错误：漏项与写反

错误	例子	改法
划分漏了一种情况	例 2 只写前两家，算出 0.022	先检查各 P(Aᵢ) 之和是否为 1
划分之间有重叠	把「甲中签」和「甲抽到第 1 张」并列	所有事件按同一标准划分
条件概率写反	用 P(Aᵢ∣B) 代替 P(B∣Aᵢ)	乘的是「在原因 Aᵢ 下结果发生」的概率
只加概率不加权	例 1 写成 3/6+2/6	每项都要先乘 P(Aᵢ)

漏项最隐蔽：例 2 少写第三家时，结果 0.022 看起来也像一个合理的次品率，只有份额之和 0.75 这一步会暴露问题。反过来，已知取到次品、问它来自哪一家，就是「由果溯因」，要用贝叶斯公式，它的分母正是全概率公式算出的 P(B)。

把加权求和录成一行推导

全概率的推导写成一行加权和最清楚：每一项都是「原因的概率 × 条件概率」，项数与划分的事件数相同，核对时数项数就能发现漏项。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，分数写 \frac{3}{5}，乘号写 \cdot，条件概率的竖线写 \mid。

文字题转成公式时，先把「谁是原因、谁是结果」用一句话写清，可以参考 自然语言公式 里先澄清再转写的做法。

练习一下：把例 2 的三项贡献录成一行，下面再写一行「0.40+0.35+0.25=1」作为划分检查，在「可视化」模式核对后从「导出」选「PNG 图片」贴进习题本；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 自然语言公式：文字描述怎样先澄清再转写
• 网页公式转LaTeX：复制网页公式前先核对结构