洛必达法则与泰勒公式：求极限时怎么选的对照

洛必达法则与泰勒公式都能处理 0/0 型极限，选哪一个看题型：x→0 时分子是几个函数相加减、低阶项会抵消，用泰勒展开到分母的阶数，一步看出结果；x→∞ 时比较对数、幂和指数，或者分子分母里有变限积分，用洛必达求导更直接。下面用同一道题把两种写法并排写出来，对照步骤数和容易出错的地方，最后给一张按题型选择的判断表。

两种方法可以配合使用。洛必达是一轮一轮地降阶，泰勒是一次把各项的阶摆出来，很多题先求导一次、再展开，写起来最短。

同一道题的两种写法

题目：求 x→0 时 (eˣsin x − x − x²)/x³ 的极限。

泰勒写法。 分母是三阶，eˣ 与 sin x 的乘积展开到 x³ 就够：eˣ=1+x+x²/2+o(x²)，sin x=x−x³/6+o(x³)。两式相乘，x 的一次、二次、三次项依次是 x、x²、x³/2−x³/6=x³/3，所以 eˣsin x=x+x²+x³/3+o(x³)。减去 x+x² 后分子剩 x³/3+o(x³)，极限是 1/3。

洛必达写法。 代入是 0/0，第一轮分子求导得 eˣ(sin x+cos x)−1−2x，分母得 3x²，代入仍是 0/0；第二轮分子得 2eˣcos x−2，分母得 6x，还是 0/0；第三轮分子得 2eˣ(cos x−sin x)，分母得 6，代入 x=0 得 2/6= 1/3。

两种写法结果相同。泰勒这边的工作量集中在「乘积展开到哪一阶」，洛必达这边集中在「乘积求导三次」：第二轮对 eˣ(sin x+cos x) 求导，两个 sin x 项一正一负正好抵消，只剩 2eˣcos x，这一步错一个符号，后面全错。

步骤与出错点对照

表里第三行两个错都很常见。泰勒这边，阶数的判断规则是「分母几阶，分子就展开到几阶」，本题分母 x³，所以 sin x 必须写到 −x³/6。洛必达这边，每一轮求导前都要写一句「仍为 0/0」，这句省掉，遇到某一轮已经不是未定式的题就会算错。

按题型选：判断表

第二行的题用洛必达连用两次：(ln x)²/√x 先变成 4ln x/√x，再变成 8/√x，极限是 0。第三行的题求导一次得 sin(2x²)/(3x²)，用 sin u~u 得 2/3。

最后一行最容易出错。只知道 f 在 0 处二阶可导时，第一次用洛必达没问题，得到 [f′(x)−f′(0)]/(2x)；第二次不能再求导，因为不知道 f″ 在 0 附近存在，这一步要按导数定义写成 f″(0)/2。

混着用：先求导一次再展开

很多题两种方法接力写最短。回到开头那道题，洛必达第一轮之后分子是 eˣ(sin x+cos x)−1−2x，分母是 3x²，这时把 eˣ(sin x+cos x) 展开到 x²，得 1+2x+x²+o(x²)，分子剩 x²，极限同样是 1/3。

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)-1-2x}{3x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{3x^{2}}=\frac{1}{3}

把判断表抄在笔记第一页，做题前先对着它认题型，再决定第一步写求导还是写展开。录推导时，本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，展开式里的 o(x³) 与各阶项照原样输入即可排成一行。

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