斯托克斯公式：空间曲线积分化曲面积分的例题

斯托克斯公式把空间闭曲线 Γ 上的第二类曲线积分，化成以 Γ 为边界的曲面 Σ 上的曲面积分，被积的是向量场 (P, Q, R) 的旋度，写成一个三阶行列式便于记忆。用它之前要先把两个方向配好：右手四指顺着 Γ 的方向弯，拇指指的就是 Σ 该取的那一侧。配好方向后，挑一块好算的 Σ，旋度往往是常数或很简单的式子，三步就能算完。

行列式记法与右手规则

行列式第一行是三个有向面积元，第二行是三个偏导算子，第三行是 P、Q、R。按第一行展开，dy dz 前面是 ∂R/∂y−∂Q/∂z，dz dx 前面是 ∂P/∂z−∂R/∂x，dx dy 前面是 ∂Q/∂x−∂P/∂y，三项正好是旋度的三个分量。右边的 ∬ 投影到坐标面后就是二重积分，积分号下的区域怎么读、怎么定限，见 二重积分符号。

把第一行换成 Σ 的单位法向量 (cos α, cos β, cos γ)，右边再乘面积元 dS，就是公式的第二种写法；曲面是平面时，用这一种更省事，因为三个余弦都是常数。两种写法里的侧都由右手规则决定，从 z 轴正向往下看 Γ 是逆时针，就取法向量 z 分量为正的上侧。

Σ 可以是平面，也可以是曲面，只要它的边界恰好是 Γ。考试里的 Γ 多半是两个曲面的交线，或者某个平面被三个坐标面截出的三角形边界，本文两道例题正好各是一种。

解题三步与两道例题速查

1. 定侧：看清 Γ 的方向，用右手规则定出 Σ 的侧和单位法向量。
2. 求旋度：按行列式第一行展开，三个分量逐个求偏导。
3. 算曲面积分：把曲面方程代进旋度与法向量的点积，化成常数乘面积，或者投影到坐标面上。

算完以后可以把 Γ 参数化，直接算一次曲线积分核对，下面两道例题都附了这一步。

例 1：圆柱面与平面的交线

题目 计算 Γ 上 (y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz 的积分，Γ 是圆柱面 x²+y²=1 与平面 x+z=1 的交线，从 z 轴正向看为逆时针。

定侧：Σ 取平面 x+z=1 被圆柱面截下的椭圆块，取上侧，单位法向量 (1/√2, 0, 1/√2)。

求旋度：∂R/∂y−∂Q/∂z=−1−1=−2，另外两个分量同样是 −2，旋度为 (−2, −2, −2)。

算曲面积分：点积为 −2/√2+0−2/√2=−2√2，是常数。椭圆块在 xOy 面上的投影是单位圆，面积 π，而 dS=√2 dx dy，所以椭圆块面积是 √2π，结果为 −2√2×√2π=−4π。

核对：令 x=cos t、y=sin t、z=1−cos t，t 从 0 到 2π，被积式化简后是 −2+sin t+cos t，积分同样得 −4π。

例 2：三个坐标轴上的三角形

题目 计算 Γ 上 y²dx+z²dy+x²dz 的积分，Γ 是平面 x+y+z=1 与三个坐标面的交线，按 A(1, 0, 0)→B(0, 1, 0)→C(0, 0, 1)→A 的方向。

从点 (1, 1, 1) 那一侧看，A→B→C 是逆时针，Σ 取三角形 ABC 的上侧，单位法向量 (1, 1, 1)/√3。旋度是 (−2z, −2x, −2y)，与法向量的点积是 −2(x+y+z)/√3。

关键一步是把曲面方程代进去：Σ 上 x+y+z=1，点积变成常数 −2/√3。三角形边长 √2，面积 √3/2，结果为 −1。

核对：在 AB 上 z=0、x=1−y，只剩 y²dx 一项，y 从 0 到 1，得 −1/3；三条边轮换对称，各为 −1/3，合计 −1。

常见错误对照

下表四条错误：前两条会让结果差一个负号，第三条会让被积式化不成常数，第四条会让结果少乘面积换算因子 √2。

在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，∮ 写 \oint_{\Gamma}，∬ 写 \iint_{\Sigma}，行列式用 vmatrix；下面是本文用到的行列式记法，复制后能直接改成题目里的 P、Q、R：

\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}dy\,dz & dz\,dx & dx\,dy\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\end{vmatrix}

两道例题的负号都来自旋度本身，侧取对了就不会多翻一次号。碰到新题，先写下「从哪边看、逆时针还是顺时针、取哪一侧」这一句，再动笔求旋度。

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