夹逼准则求极限：放缩的3种套路与数列例题

夹逼准则求极限的要点是：给数列 aₙ 找一个下界 bₙ 和一个上界 cₙ，满足 bₙ≤aₙ≤cₙ，且 bₙ 与 cₙ 的极限相同，那么 aₙ 的极限就是这个共同值。难点全在「怎么放缩」，数列题里最常用的有 3 种套路：n 项和取首末项、n 次根式按最大项放缩、阶乘与指数逐项比较。下面先给速查表，再各配一道从放缩到取极限每步写清的例题。

读者可以自己取 n=10、1000 代入，看数值是否朝极限靠拢。本文只讲手算放缩的思路与书写，推导的排版可以放进公式编辑器逐行录入。

三种放缩套路速查

三种套路的共同原则是：上下两边的「主要部分」要一样，只允许差一个趋于 0 或趋于 1 的因子。上下界主要部分不同，就一定夹不住。

例题示范：三道数列极限

例 1（取首末项）：求 n→∞ 时，k 从 1 到 n 的和 Σ 1/√(n²+k) 的极限。

第 k 项的分母 √(n²+k) 随 k 增大，所以每一项都介于 k=n 与 k=1 两种情况之间：

1/√(n²+n) ≤ 1/√(n²+k) ≤ 1/√(n²+1)

共 n 项，加起来得到下面这组不等式：

左边 n/√(n²+n)=1/√(1+1/n)→1，右边 n/√(n²+1)=1/√(1+1/n²)→1，所以原极限为 1。n=10 时和约为 0.97386，n=1000 时约为 0.99975，趋势一致。

例 2（n 次根式）：求 (2ⁿ+3ⁿ+5ⁿ) 的 n 次方根的极限。

根号里最大的项是 5ⁿ。下界只留这一项，上界把三项都换成 5ⁿ，得到左边 5、右边 5 乘 3 的 n 次方根：

3^(1/n)→1，两边都趋于 5，所以极限为 5。n=10 时原式约为 5.0031。

例 3（阶乘比较）：求 3ⁿ 除以 n 的阶乘的极限，把这个数列记作 aₙ。

把 aₙ 拆成 n 个因子相乘：aₙ = (3/1)(3/2)(3/3)(3/4)⋯(3/n)。前三个因子乘积是 9/2；从第四个起每个因子都小于 1，只保留最后一个 3/n，其余放大成 1。于是 n≥3 时 0 < aₙ ≤ (9/2)·(3/n) = 27/(2n)。

右边 27/(2n)→0，左边是 0，所以极限为 0。n=10 时原式约为 0.0163，确实小于右边的 1.35。

常见错误对照

1. 两边放缩后极限不同。例 1 若把上界写成 n·(1/n)=1、下界写成 n·1/(2n)=1/2，两边分别趋于 1 和 1/2，夹不住。下界应当取最小的一项 1/√(n²+n)，而不是随手找一个更小的数。
2. 项数数错。k 从 1 到 n 是 n 项，从 0 到 n 是 n+1 项。项数进入上下界的系数，数错了两边的极限就会变。
3. 只放了一边。例 3 只写「aₙ 越来越小」不够，要写出下界 0 和一个明确趋于 0 的上界。
4. 放缩方向写反。分母变大、分式变小；例 1 里 k 取 n 得到的是最小项，是下界。

把放缩过程录成推导

放缩题的得分点在不等式那一行，交作业时要把三段写清楚。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 环境把例 3 的放缩写成两行，& 放在不等号前：

\begin{aligned}0<\frac{3^{n}}{n!}&=\frac{3}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{3}{n}\\&\le\frac{9}{2}\cdot\frac{3}{n}=\frac{27}{2n}\end{aligned}

三种套路练熟了，可以试一道变式：把例 1 的分子换成 k，求 k 从 1 到 n 的和 Σ k/(n²+k) 的极限。先放缩分母，再用 1+2+⋯+n=n(n+1)/2 求和，上下两边都趋于 1/2。做完回到速查表，对一对上下界的主要部分是否一致。

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